Hacmi 24\pi \text{ cm}^3 olan dik dairesel silindir biçiminde üstü kapalı bir teneke kutu … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Hacmi $24\pi \text{ cm}^3$ olan dik dairesel silindir biçiminde üstü kapalı bir teneke kutu üretilecektir. Bu kutunun alt ve üst tabanlarında kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti $3 \text{ TL/cm}^2$ , yan yüzeyinde kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti ise $2 \text{ TL/cm}^2$ dir.

Buna göre, bu kutunun toplam malzeme maliyetinin en az olması için yüksekliği kaç $\text{cm}$ olmalıdır?

A
2
B
3
C
4
6Answer
E
12

Answer

Malzeme maliyetini en aza indiren yükseklik değeri 6 cm'dir.

Toplam maliyet fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen yarıçap değeri için yüksekliğin 6 cm olduğu bulunur. Bu değer maliyeti en aza indiren yüksekliktir.

Step-by-Step Solution

Silindirin hacim formülünü yazarak yükseklik (

h

) ile yarıçap (

r

) arasındaki ilişkiyi belirleyin.

V = \pi r^2 h = 24\pi \implies h = \frac{24}{r^2}

Maliyet fonksiyonunu tek bir değişşkene (

r

) bağlı olarak yazabilmek için bu ilişki gereklidir.

Tabanların ve yan yüzeyin alanlarını birim maliyetleriyle çarparak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturun.

C(r) = 3 \cdot (2\pi r^2) + 2 \cdot (2\pi r h) = 6\pi r^2 + 4\pi r h

. Buradan

h

yerine

\frac{24}{r^2}

yazıldığında:

C(r) = 6\pi r^2 + \frac{96\pi}{r}

elde edilir.

Maliyetin minimum olduğu noktayı türev yardımıyla bulmak için maliyet fonksiyonu oluşturulmalıdır.

Maliyet fonksiyonunun

r

değişkenine göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.

C'(r) = 12\pi r - \frac{96\pi}{r^2} = 0 \implies 12\pi r = \frac{96\pi}{r^2} \implies r^3 = 8 \implies r = 2

Maliyet fonksiyonunu minimum yapan yarıçap değerini bulmak için birinci türevin kökü hesaplanır.

Bulunan

r = 2

cm değerini kullanarak silindirin yüksekliğini (

h

) hesaplayın.

h = \frac{24}{r^2} = \frac{24}{2^2} = 6

Soruda bizden minimum maliyeti sağlayan yükseklik (

h

) değeri istenmektedir.

Key Concept

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözülmesi, kısıt denkleminin (hacim) hedef fonksiyonda (maliyet) yerine yazılması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic