Examkin

Question

Difficulty: Very hardSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x3−ax2−4x+4ax2−(a+2)x+2a,x<2b,x=26x2+5−18x−2,x>2f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - ax^2 - 4x + 4a}{x^2 - (a+2)x + 2a}, & x < 2 \\ b, & x = 2 \\ \frac{6\sqrt{x^2 + 5} - 18}{x - 2}, & x > 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (−∞,2](-\infty, 2]
  2. B
    (2,∞)(2, \infty)
  3. [2,∞)[2, \infty)Answer
  4. D
    R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}
  5. E
    R\mathbb{R}

Answer

[2,∞)[2, \infty) aralığıdır.
Doğru cevap [2,∞)[2, \infty) aralığıdır. Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için x<2x < 2 aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sol kısımdaki rasyonel ifadenin paydası x=2x = 2 ve x=ax = a noktalarında sıfır olmaktadır. x=2x = 2 noktası x<2x < 2 aralığına dahil olmadığından tanımsızlık yaratmaz. Ancak x=ax = a kökü eğer 22'den küçük olursa (a<2a < 2), bu nokta tanım kümesinde yer alacak ve fonksiyon o noktada tanımsız (dolayısıyla süreksiz) olacaktır. Sadeleştirme yapılabilmesi limitin var olmasını sağlasa da, fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını sağlamaz. Bu nedenle aa parametresi 22'den küçük olamaz, yani a≥2a \ge 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki süreklilik şartını inceleyelim.
Sağ limit lim⁡x→2+f(x)=4\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 ve sol limit lim⁡x→2−f(x)=4\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 olmalıdır. Buradan f(2)=b=4f(2) = b = 4 elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
2
x<2x < 2 için tanımlı rasyonel ifadenin pay ve paydasını çarpanlarına ayıralım.
Pay: x3−ax2−4x+4a=(x−2)(x+2)(x−a)x^3 - ax^2 - 4x + 4a = (x-2)(x+2)(x-a), Payda: x2−(a+2)x+2a=(x−2)(x−a)x^2 - (a+2)x + 2a = (x-2)(x-a) olarak bulunur.
Süreksizlik yaratabilecek noktaları belirlemek amacıyla rasyonel ifadenin köklerini bulmamız gerekir.
3
Çarpanlarına ayrılmış rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerleri bulalım ve süreklilik şartıyla ilişkilendirelim.
Paydanın kökleri x=2x = 2 ve x=ax = a'dır. x=2x = 2 noktası x<2x < 2 aralığında yer almadığı için bu aralıkta süreksizlik yaratmaz. Ancak x=ax = a noktası eğer x<2x < 2 aralığında olursa (a<2a < 2), fonksiyon bu noktada tanımlı olmayacağından süreksiz olur.
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olabilmesi için, x<2x < 2 aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sadeleşen çarpanlar limit varlığını sağlasa da fonksiyonun tanımlı olmasını engeller.
4
Bu koşul altında aa parametresinin alabileceği değerler kümesini belirleyelim.
a≥2a \ge 2 olmalıdır. Böylece en geniş değer aralığı [2,∞)[2, \infty) olarak bulunur.
Eğer a≥2a \ge 2 ise, paydanın x=ax = a kökü x<2x < 2 aralığına düşmez ve bu aralıkta süreksizlik noktası oluşmaz.

Key Concept

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Alternative Method

Alternatif olarak, x<2x < 2 aralığında yer alan rasyonel ifadenin payda köklerinin kümesi olan {2,a}\{2, a\} incelendiğinde, x=2x = 2 kökünün bu aralıkta olmadığı görülür. Diğer kök olan x=ax = a ise ancak a≥2a \ge 2 koşulunu sağladığında x<2x < 2 aralığının dışına düşer ve bu aralıkta bir süreksizlik noktası oluşturmaz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic