Examkin

Question

Difficulty: MediumBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(2x−g(x))=x2−3x+4f(2x - g(x)) = x^2 - 3x + 4
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=3g(2) = 3
g′(2)=4g'(2) = 4
olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
  1. A
    −1-1
  2. −12-\frac{1}{2}Answer
  3. C
    −14-\frac{1}{4}
  4. D
    16\frac{1}{6}
  5. E
    11

Answer

−12-\frac{1}{2}
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı uyarınca sol tarafta f′(2x−g(x))⋅(2−g′(x))f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x)) ifadesi oluşur. Denklemde f′(1)f'(1) değerine ulaşmak amacıyla x=2x = 2 yazılır. Soruda verilen g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=4g'(2) = 4 değerleri yerine konduğunda f′(1)⋅(2−4)=4−3f'(1) \cdot (2 - 4) = 4 - 3 denklemi elde edilir. Buradan f′(1)⋅(−2)=1f'(1) \cdot (-2) = 1 olup doğru sonuç −12-\frac{1}{2} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevini alın.
f′(2x−g(x))⋅(2−g′(x))=2x−3f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x)) = 2x - 3
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Elde edilen türev denkleminde f′(1)f'(1) değerine ulaşmak için 2x−g(x)=12x - g(x) = 1 eşitliğini sağlayan xx değerini belirleyin.
x=2x = 2 için 2(2)−g(2)=4−3=12(2) - g(2) = 4 - 3 = 1 elde edilir.
Soruda g(2)=3g(2) = 3 bilgisi verildiği için x=2x = 2 yazıldığında bileşke fonksiyonun içinin 11 olduğu görülür.
3
Türev denkleminde x=2x = 2 yazarak bilinen g′(2)=4g'(2) = 4 değerini yerine yerleştirin ve f′(1)f'(1) değerini yalnız bırakın.
f′(1)⋅(2−g′(2))=2(2)−3⇒f′(1)⋅(2−4)=1⇒f′(1)⋅(−2)=1⇒f′(1)=−12f'(1) \cdot (2 - g'(2)) = 2(2) - 3 \Rightarrow f'(1) \cdot (2 - 4) = 1 \Rightarrow f'(1) \cdot (-2) = 1 \Rightarrow f'(1) = -\frac{1}{2}
Verilen türev değerleri denklemde yerine konularak basit bir birinci dereceden denklem çözümüyle bilinmeyen türev değerine ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir.

Alternative Method

Zincir kuralı formülü doğrudan uygulanmak yerine, diferansiyel gösterimi kullanılarak u=2x−g(x)u = 2x - g(x) dönüşümüyle dy/dx=(dy/du)⋅(du/dx)dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx) bağıntısı üzerinden de çözüm gerçekleştirilebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic