1'den farklı x ve y pozitif gerçel sayıları için, \log_x(x \cdot y) + \log_y\left(\frac{x}{y}\right) = 3\neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, \log_x^2 y + \log_y^2 x ifadesinin değeri kaçtır?

1'den farklı x ve y pozitif gerçel sayıları için, \log_x(x \cdot y) + \log_y\left(\frac{x}… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den farklı

x

y

pozitif gerçel sayıları için,

\log_x(x \cdot y) + \log_y\left(\frac{x}{y}\right) = 3

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

\log_x^2 y + \log_y^2 x

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri 7'dir.

Verilen denklemde logaritmanın çarpım ve bölüm özellikleri kullanıldığında

1

-1

terimleri birbirini yok eder ve

\log_x y + \log_y x = 3

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında ve taban değiştirme kuralı gereği

\log_x y \cdot \log_y x = 1

olduğu göz önüne alındığında, aranan kareler toplamının değeri 7 olarak hesaplanır.

Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri açın.

\log_x(x \cdot y) = \log_x x + \log_x y = 1 + \log_x y

\log_y\left(\frac{x}{y}\right) = \log_y x - \log_y y = \log_y x - 1

Çarpım durumundaki ifadeleri toplama, bölüm durumundaki ifadeleri ise farka dönüştürmek için.

Elde edilen ifadeleri verilen ana denklemde yerine yazarak sadeleştirin.

(1 + \log_x y) + (\log_y x - 1) = 3 \Rightarrow \log_x y + \log_y x = 3

1

-1

terimleri birbirini sadeleştirerek toplam ifadesini yalnız bırakır.

Karesel toplamı elde etmek amacıyla her iki tarafın karesini alın.

(\log_x y + \log_y x)^2 = 3^2

\log_x^2 y + 2\log_x y \cdot \log_y x + \log_y^2 x = 9

İstenen kareler toplamına ulaşabilmek için tam kare açılımı yapılması gerekir.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla çarpım teriminin değerini belirleyip sonucu hesaplayın.

\log_x y \cdot \log_y x = 1

olduğundan,

\log_x^2 y + 2(1) + \log_y^2 x = 9 \Rightarrow \log_x^2 y + \log_y^2 x = 7

\log_a b \cdot \log_b a = 1

özelliği gereğince çarpım teriminin değeri

1

'dir.

Logaritma özelliklerinin uygulanması ve taban değiştirme kuralı