Examkin

Question

Difficulty: MediumSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı en geniş kümede
f(x)=x−2x2−ax+9f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - ax + 9}
fonksiyonu tanımlanıyor.

f(x)f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların sayısı 11 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarp��mı kaçtır?

  1. −36-36Answer
  2. B
    −234-234
  3. C
    3636
  4. D
    132\frac{13}{2}
  5. E
    −39-39

Answer

Süreksiz olduğu nokta sayısını 1 yapan farklı aa değerlerinin çarpımı −36-36 olur.
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar paydayı sıfır yapan değerlerdir. x2−ax+9=0x^2 - ax + 9 = 0 denkleminin tek bir gerçel kökü olması için diskriminantı sıfır olmalıdır (Δ=0\Delta = 0). Buradan a=6a = 6 veya a=−6a = -6 bulunur. Eğer a=13/2a = 13/2 seçilirse payda x=2x=2 için sıfır olur ve paydaki x−2x-2 ile sadeleşen bir çarpan içerir. Ancak sadeleşmeye rağmen fonksiyon başlangıçta x=2x=2 noktasında tanımsız olduğu için bu noktada süreksiz kalır ve diğer kök olan x=9/2x=9/2 ile birlikte toplamda 2 süreksizlik noktası oluşur. Dolayısıyla a=13/2a = 13/2 değeri koşulu sağlamaz. Bu durumda aa'nın alabileceği değerler çarpımı 6⋅(−6)=−366 \cdot (-6) = -36 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktaların tanımsızlık kaynaklı olduğunu belirleyin.
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan x2−ax+9=0x^2 - ax + 9 = 0 denkleminin gerçel kökleridir.
Rasyonel fonksiyonlar tanımlı olmadıkları noktalarda süreksizdir.
2
Paydadaki denklemin tek gerçel kökünün olması koşulunu diskriminant yardımıyla inceleyin.
Δ=a2−4⋅1⋅9=a2−36=0  ⟹  a=6\Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36 = 0 \implies a = 6 veya a=−6a = -6 bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin tam olarak bir gerçel kökünün olması için diskriminantının sıfır olması gerekir.
3
Payı sıfır yapan x=2x=2 değerinin paydayı da sıfır yapması durumunu (sadeleşme ihtimalini) kontrol edin.
22−2a+9=0  ⟹  a=13/22^2 - 2a + 9 = 0 \implies a = 13/2 olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=x−212(2x−9)(x−2)f(x) = \frac{x-2}{\frac{1}{2}(2x-9)(x-2)} halini alır. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyon x=2x=2 noktasında başlangıçta tanımsız olduğundan bu noktada da süreksizdir. Dolayısıyla x=2x=2 ve x=9/2x=9/2 olmak üzere 2 süreksizlik noktası oluşur ve bu durum elenir.
Pay ile paydanın sadeleşmesi fonksiyonu o noktada sürekli kılmaz; fonksiyon o noktada tanımsız kalmaya devam eder.
4
Koşulu sağlayan aa değerlerinin çarpımını hesaplayın.
6⋅(−6)=−366 \cdot (-6) = -36 elde edilir.
Sadece a=6a = 6 ve a=−6a = -6 değerleri için fonksiyonun süreksiz olduğu nokta sayısı 1'dir.

Key Concept

Bir rasyonel fonksiyonun süreksizlik noktaları, paydasını sıfır yapan gerçel sayılardır. Pay ile paydanın sadeleşmesi, tanımsızlığı ortadan kaldırmaz ve o nokta süreksizlik noktası olmaya devam eder.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic