1'den farklı a ve b pozitif gerçel sayıları için a \cdot b \neq 1 olmak üzere, \log_a (a^2… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1

'den farklı

a

b

pozitif gerçel sayıları için

a \cdot b \neq 1

olmak üzere,

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

olduğuna göre,

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri

\frac{7}{3}

'tür.

Doğru cevap

\frac{7}{3}

'tür. Verilen

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

eşitliği

\log_a a^2 + \log_a b^3 = 8 \Rightarrow 2 + 3\log_a b = 8

şeklinde açılır ve buradan

\log_a b = 2

elde edilir. İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesi

a

tabanında yazıldığında

\frac{\log_a (a^3 b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

olur. Burada

\log_a b = 2

yazıldığında sonuç

\frac{3+2(2)}{1+2} = \frac{7}{3}

olarak bulunur.

Verilen logaritmik eşitliği logaritmanın çarpım ve üs özellikleri yardımıyla sadeleştirmek.

\log_a (a^2 \cdot b^3) = \log_a a^2 + \log_a b^3 = 2 \cdot \log_a a + 3 \cdot \log_a b = 2 + 3\log_a b = 8

elde edilir. Buradan

3\log_a b = 6

ve nihayetinde

\log_a b = 2

bulunur.

İstenen ifadeyi

a

tabanında yazıp hesaplayabilmek için

\log_a b

değerine ulaşmak gerekir.

İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesine

a

tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2) = \frac{\log_a (a^3 \cdot b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{\log_a a^3 + \log_a b^2}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 \cdot \log_a a + 2 \cdot \log_a b}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

elde edilir.

Farklı tabandaki bir logaritmayı, değeri bilinen tabana dönüştürerek hesaplanabilir duruma getirmek.

Birinci adımda bulunan

\log_a b = 2

değerini ikinci adımda elde edilen rasyonel ifadede yerine yazmak.

\frac{3 + 2(2)}{1 + 2} = \frac{3 + 4}{3} = \frac{7}{3}

bulunur.

Logaritmik oranları sayısal sonuca ulaştırmak.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Question