Examkin

Question

Difficulty: EasyYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=14x4−x3+5f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

  1. 3Answer
  2. B
    0
  3. C
    2
  4. D
    -3
  5. E
    4

Answer

Fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.
Verilen fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=x2(x−3)f'(x) = x^2(x-3) elde edilir. Bu ifadenin kökleri x=0x=0 (çift katlı) ve x=3x=3 (tek katlı) olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde, x=3x=3 noktasının solunda türevin negatif (fonksiyonun azalan) ve sağında pozitif (fonksiyonun artan) olduğu görülür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun birinci türevini alın.
f′(x)=x3−3x2f'(x) = x^3 - 3x^2
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türevinin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenmelidir.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.
x2(x−3)=0  ⟹  x=0 ve x=3x^2(x - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ ve } x = 3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları bulmak amacıyla kökler tespit edilir. Burada x=0x=0 çift katlı kök, x=3x=3 ise tek katlı köktür.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturun.
x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), 0<x<30 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x<0x < 0 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) olur.
x=0x=0 çift katlı kök olduğu için işareti değiştirmeden geçeriz. x=3x=3 tek katlı kök olduğu için işaret negatiften pozitife döner.
4
İşaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyin.
Türevin işareti x=3x=3 noktasında negatiften pozitife geçtiği için (fonksiyon azalandan artana geçtiği için) x=3x=3 noktası yerel minimum noktasıdır. x=0x=0 noktasında işaret değişmediği için ekstremum yoktur.
Yerel minimum noktası, türevin işaretinin eksiden artıya geçtiği apsis değerine karşılık gelir.

Key Concept

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve tek/çift katlı köklerin ekstremum üzerindeki etkisi.

Hints

1
Öncelikle fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyin.
Estimated Time:50s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic