Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−tan⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \tan x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1cc
  2. 2aa
  3. 3bb

Answer

c<a<bc < a < b
Verilen aralık IV. bölgeyi temsil eder. Bu bölgede c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesi negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için kesinlikle negatiftir (c<0c < 0). a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinde tan⁡x<sin⁡x<0\tan x < \sin x < 0 olduğundan sonuç pozitiftir (a>0a > 0). b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinde ise cot⁡x<−1  ⟹  −cot⁡x>1\cot x < -1 \implies -\cot x > 1 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan b>1b > 1 olur. Bu durumda doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen xx açısının bölgesine göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etmek.
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığı birim çemberde IV. bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır. Daha spesifik olarak −22<sin⁡x<0-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0, 22<cos⁡x<1\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1, −1<tan⁡x<0-1 < \tan x < 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 aralıklarındadır.
Toplama ve çıkarma içeren ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirleyebilmek.
2
c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesinin işaretini incelemek.
Negatif bir değer olan sin⁡x\sin x ifadesinden pozitif bir değer olan cos⁡x\cos x çıkarıldığında sonuç negatif olur. Yani c<0c < 0 elde edilir.
cc değerinin negatif olduğunu bularak sıralamadaki en küçük eleman olduğunu belirlemek.
3
a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinin işaretini incelemek.
IV. bölgede 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 olduğundan tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ifadesi sin⁡x\sin x değerinden daha küçük (daha negatif) bir sayıdır. Dolayısıyla sin⁡x−tan⁡x>0\sin x - \tan x > 0 olur. Yani aa pozitiftir (a>0a > 0).
aa değerinin pozitif olduğunu bularak negatif olan cc değerinden büyük olduğunu belirlemek.
4
b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını incelemek.
IV. bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 dir. Buradan −cot⁡x>1-\cot x > 1 olur. Pozitif olan cos⁡x\cos x ile 11'den büyük olan −cot⁡x-\cot x toplandığında b>1b > 1 elde edilir.
bb değerinin 11'den büyük olduğunu göstererek 0<a<10 < a < 1 aralığında kalan aa değerinden büyük olduğunu doğrulamak.
5
Elde edilen tüm işaret ve aralık bilgilerini birleştirerek sıralamayı tamamlamak.
c<0c < 0, 0<a<10 < a < 1 ve b>1b > 1 olduğundan küçükten büyüğe sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Nihai sıralamayı oluşturmak.

Key Concept

IV. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralama yapma.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic