Tanım kümesi \mathbb{R} \setminus \{1\} olan ve bu tanım kümesinde türevlenebilir bir f fo… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanım kümesi

\mathbb{R} \setminus \{1\}

olan ve bu tanım kümesinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi her

x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}

için

f'(x) = \frac{(x - 2)^2(x + 3)(x - 5)}{x - 1}

olarak verilmiştir.
Buna göre,

f

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A
3
B
4
2Answer
D
5
E
-3

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.

Türevin tek katlı kökleri olan ve fonksiyonun tanım kümesinde yer alan

x = -3

x = 5

noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bunların toplamı ise

2

değerini verir.

Step-by-Step Solution

Türevin sıfır olduğu kritik noktaları ve tanımsız olduğu noktaları belirlemek.

Türevi sıfır yapan noktalar

x = -3

x = 2

x = 5

'dir. Türevin tanımsız olduğu tek nokta ise paydanın kökü olan

x = 1

'dir.

Yerel ekstremum noktaları adayları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki türevin sıfır olduğu (kritik) veya türevin var olmadığı noktalardır.

Tanım kümesini kontrol ederek aday noktaları elemek.

Fonksiyonun tanım kümesi

\mathbb{R} \setminus \{1\}

olarak verildiğinden,

x = 1

noktası tanım kümesinde değildir. Dolayısıyla

x = 1

bir ekstremum noktası olamaz. Diğer noktalar (

x = -3

x = 2

x = 5

) tanım kümesindedir.

Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması şarttır.

Türevin işaret tablosunu oluşturmak ve işaret değişimlerini incelemek.

İşaret tablosu yapıldığında:

Aralık	$(-\infty, -3)$	$-3$	$(-3, 1)$	$1$	$(1, 2)$	$2$	$(2, 5)$	$5$	$(5, \infty)$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	tanımsız	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	Yerel Min	$\nearrow$	tanımsız	$\searrow$	Ekstremum yok	$\searrow$	Yerel Min	$\nearrow$

Buradan,

x = -3

noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur.

x = 2

çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (ekstremum yoktur).

x = 5

noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur.

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Çift katlı köklerde işaret değişmediği için bu noktalarda ekstremum oluşmaz.

Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayarak sonuca ulaşmak.

Belirlenen yerel ekstremum noktalarının apsisleri

x = -3

x = 5

olup, bunların toplamı

-3 + 5 = 2

olarak hesaplanır.

Soru, yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamını sormaktadır.

Key Concept

Türevin işaret tablosu yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi, çift katlı köklerin ve tanım kümesi sınırlarının ekstremum üzerindeki etkisi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic