Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x
b=1−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xb = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x
c=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡x+cos⁡xc = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanış�� aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c<b<ac < b < aAnswer
  2. B
    c<a<bc < a < b
  3. C
    b<c<ab < c < a
  4. D
    b<a<cb < a < c
  5. E
    a<b<ca < b < c

Answer

c < b < a sıralaması doğrudur.
Sıralamada a değeri iki negatif değerin çarpımı olduğu için kesinlikle pozitif olup en büyüktür. b değeri sadeleştirildiğinde kosinüs değerine eşit olup negatiftir. c değeri ise sinüs ile kosinüsün iki katının toplamına eşit olup yine negatiftir. İki negatif değer karşılaştırıldığında, sinüs ve kosinüsün toplamı negatif olduğundan c değeri b değerinden daha küçüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel trigonometrik işaretleri belirleme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede hem sinüs hem de kosinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir: sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0. Ayrıca bu aralıkta açının büyüklüğünden dolayı sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 eşitsizliği geçerlidir.
İfadelerin sadeleştirilmesinde mutlak değerlerin dışarıya nasıl çıkacağını ve işaretlerini belirlemek için bölge analizi şarttır.
2
a ifadesinin işaretini belirleme
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x ifadesinde iki negatif değerin çarpımı pozitif bir sonuç verir. Dolayısıyla a>0a > 0 olur.
Çarpım durumundaki ifadelerin işaret kuralını uygulayarak a değerinin pozitif olduğunu buluruz.
3
b ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
1−2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği kullanılır.
Kök dışına çıkarma işlemi yapılırsa:
(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = | \sin x - \cos x |
Üçüncü bölgedeki bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x\sin x < \cos x olduğundan, mutlak değerin içi negatiftir. Dışarıya işaret değiştirerek çıkar:
∣sin⁡x−cos⁡x∣=−(sin⁡x−cos⁡x)=cos⁡x−sin⁡x| \sin x - \cos x | = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x
İfade yerine yazıldığında:
b=(cos⁡x−sin⁡x)+sin⁡x=cos⁡xb = (\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x elde edilir.
Kosinüs üçüncü bölgede negatif olduğundan b<0b < 0 olur.
Karekök içerisindeki tam kare ifadeyi mutlak değer dışına bölge kurallarına uygun olarak çıkarıp b değerini sadeleştirmek gerekir.
4
c ifadesini iki küp toplamı açılımı ile sadeleştirme
sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) özdeşliği pay kısmına uygulanır.
Buna göre c ifadesi:
c=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)1−sin⁡xcos⁡x+cos⁡xc = \frac{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x} + \cos x
Pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilirse:
c=sin⁡x+cos⁡x+cos⁡x=sin⁡x+2cos⁡xc = \sin x + \cos x + \cos x = \sin x + 2\cos x elde edilir.
Her iki terim de negatif olduğundan c<0c < 0 olur.
Küp açılımını kullanarak c ifadesini rasyonel formdan kurtarıp en sade haline getirmek gerekir.
5
Elde edilen a, b ve c değerlerini karşılaştırarak sıralama
a>0a > 0, b<0b < 0 ve c<0c < 0 olduğundan a en büyük değerdir.
Negatif olan b ve c değerlerini kıyaslamak için farklarına bakalım:
c−b=(sin⁡x+2cos⁡x)−cos⁡x=sin⁡x+cos⁡xc - b = (\sin x + 2\cos x) - \cos x = \sin x + \cos x
Her iki değer de negatif olduğundan toplamları da negatiftir:
c−b<0  ⟹  c<bc - b < 0 \implies c < b olur.
Bu durumda sıralama c<b<ac < b < a şeklinde gerçekleşir.
Pozitif ve negatif olan değerleri kendi aralarında kıyaslayarak kesin sıralamayı elde ederiz.

Key Concept

Üçüncü bölgede trigonometrik fonksiyonların işaret ve büyüklük sıralaması ile temel özdeşliklerin (tam kare ve iki küp toplamı) uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic