Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Bir göldeki su derinliğine bağlı olarak ışık şiddetinin değişimi araştırılmaktadır. Göle ulaşan güneş ışığının su yüzeyindeki şiddeti I0I_0 lümen olmak üzere, su yüzeyinden itibaren dd metre derinlikteki ışık şiddeti I(d)I(d) lümen değeri

I(d)=I0⋅e−0,2dI(d) = I_0 \cdot e^{-0,2d}

formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinlik, metre cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. 5ln⁡25 \ln 2Answer
  2. B
    2ln⁡52 \ln 5
  3. C
    ln⁡25\frac{\ln 2}{5}
  4. D
    5ln⁡(0,5)5 \ln(0,5)
  5. E
    −5ln⁡2-5 \ln 2

Answer

Beş çarpı elen iki
Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinliği bulmak için I(d)=0,5I0I(d) = 0,5 I_0 eşitliği kurulur. Burada I0I_0 sadeleştirilerek e−0,2d=0,5e^{-0,2d} = 0,5 denklemine ulaşılır. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında −0,2d=ln⁡(0,5)-0,2d = \ln(0,5) olur. ln⁡(0,5)=−ln⁡2\ln(0,5) = -\ln 2 eşitliği kullanılarak −0,2d=−ln⁡2-0,2d = -\ln 2 yani 0,2d=ln⁡20,2d = \ln 2 elde edilir. Son olarak 0,2=150,2 = \frac{1}{5} katsayısı karşıya çarpım olarak aktarıldığında derinlik 5ln⁡25 \ln 2 metre olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Işık şiddeti modelini, yüzeydeki şiddetin yarısına eşit olacak şekilde denklem halinde yazın.
I0⋅e−0,2d=0,5⋅I0I_0 \cdot e^{-0,2d} = 0,5 \cdot I_0
Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin (I0I_0) yarısına düştü��ü derinliği bulmak için I(d)=0,5I0I(d) = 0,5 I_0 eşitliği kurulur.
2
Her iki taraftaki I0I_0 terimlerini sadeleştirip üstel denklemi yalnız bırakın ve her iki tarafın doğal logaritmasını (ln⁡\ln) alın.
e−0,2d=0,5  ⟹  −0,2d=ln⁡(0,5)e^{-0,2d} = 0,5 \implies -0,2d = \ln(0,5)
Üstel ifadenin tabanı ee olduğundan, dd değişkenini çekebilmek için doğal logaritma fonksiyonu kullanılır.
3
Logaritma özelliklerini kullanarak negatif terimleri sadeleştirin ve dd derinlik değerini bulun.
−0,2d=−ln⁡2  ⟹  0,2d=ln⁡2  ⟹  d=5ln⁡2-0,2d = -\ln 2 \implies 0,2d = \ln 2 \implies d = 5 \ln 2
ln⁡(0,5)=ln⁡(2−1)=−ln⁡2\ln(0,5) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2 özelliği yardımıyla denklem sadeleştirilir. 0,2=150,2 = \frac{1}{5} olduğundan, içler dışlar çarpımıyla d=5ln⁡2d = 5 \ln 2 elde edilir.

Key Concept

Üstel azalış modellerinde üstel denklemi logaritmaya çevirerek bilinmeyen değişkeni yalnız bırakma
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

More questions from this topic