Examkin

Question

Difficulty: HardParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Eksenleri kestiği noktalar sırasıyla A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,y0)C(0, y_0) olan bir y=f(x)y = f(x) parabolü için x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olduğu bilinmektedir.

Bu parabolle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:
* x2=−3x1x_2 = -3x_1
* ∣y0∣=−4x1|y_0| = -4x_1
* f(1)=−10f(1) = -10

Buna göre, köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Answer: 32

Answer

Köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı 3232 birimkaredir.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar kökleridir. x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve x2=−3x1x_2 = -3x_1 ilişkisinden kökler −r-r ve 3r3r (r>0r>0) olarak belirlenir. Bu durumda parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x+r)(x-3r) olur. y-eksenini kestiği noktanın ordinatı y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 olur. Orijine olan uzaklıklar kullanılarak ∣y0∣=−4x1  ⟹  3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=4/3|y_0| = -4x_1 \implies 3|a|r^2 = 4r \implies |a|r = 4/3 bulunur. f(1)=−10f(1) = -10 bilgisiyle a>0a > 0 ve r=2r = 2 elde edilir. Buradan a=2/3a = 2/3 bulunur. Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) olarak bulunur. Köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı ise 8⋅82=32\frac{8 \cdot 8}{2} = 32 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları ve kök ilişkilerini belirleme.
x1=−rx_1 = -r (r>0r > 0) ve x2=3rx_2 = 3r olmak üzere parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x + r)(x - 3r) olur.
Köklerin işaretleri x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve oranları x2=−3x1x_2 = -3x_1 olarak verildiği için kökleri tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp denklemi kurmak kolaylık sağlar.
2
y-eksenini kestiği noktanın ordinatını kökler cinsinden yazma ve uzaklık eşitli��ini kullanma.
y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 ve ∣y0∣=4r|y_0| = 4r olduğundan, 3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=433|a|r^2 = 4r \implies |a|r = \frac{4}{3} elde edilir.
y-eksenini kestiği nokta olan C(0,y0)C(0, y_0) noktasının orijine olan uzaklığı ile AA noktasının orijine olan uzaklığı arasındaki ilişkiyi kullanarak aa ile rr arasında bir bağıntı kurmak gerekir.
3
f(1)=−10f(1) = -10 bilgisini kullanarak parabolün katsayısı aa ve parametre rr değerlerini bulma.
a>0a > 0 durumu için ar=43  ⟹  a=43rar = \frac{4}{3} \implies a = \frac{4}{3r} olur. f(1)=a(1+r)(1−3r)=−10  ⟹  6r2−11r−2=0  ⟹  r=2f(1) = a(1+r)(1-3r) = -10 \implies 6r^2 - 11r - 2 = 0 \implies r = 2 ve a=23a = \frac{2}{3} bulunur.
Verilen fonksiyon değeri sayesinde aa ve rr bilinmeyenlerinin sayısal değerlerine ulaşılır. Temiz tam sayı veya rasyonel sonuçlar veren tek geçerli durum a>0a > 0 ve r=2r = 2 durumudur.
4
Köşe koordinatlarını belirleme ve üçgenin alanını hesaplama.
A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) noktaları elde edilir. Üçgenin alanı: Alan(ABC)=12⋅∣6−(−2)∣⋅∣−8∣=32\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |6 - (-2)| \cdot |-8| = 32 birimkaredir.
Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu tabana ait y��ksekliğin çarpımının yarısı formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile parabolün cebirsel denklemi arasındaki ilişkinin kurulması ve bunun geometrik uygulamaları.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic