Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, OO başlangıç noktası olmak üzere, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası için [OP][OP] doğru parçası xx-ekseninin pozitif yönüyle θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} radyarlık açı yapmaktadır. y=3y = \sqrt{3} doğrusu üzerindeki bir QQ noktası için OO, PP ve QQ noktaları doğrusaldır. Buna göre, QQ noktasının apsisi kaçtır?

Answer: 3

Answer

Doğru cevap 3'tür.
θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısı üçüncü bölgede yer alır. Bu açının tanjant değeri tan⁡(7π6)=13\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} olduğundan, orijinden geçen doğrunun denklemi y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x olur. Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası bu doğru üzerinde bulunduğundan, yy yerine 3\sqrt{3} yazıldığında 3=13x\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
PP noktasını belirleyen θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısının tanjantını hesaplayarak OPOP doğrusunun eğimini bulmak.
Eğim m=tan⁡(7π6)=13m = \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}
Merkezil birim çember üzerindeki bir noktanın orijinle birleştirilmesiyle oluşan doğrunun eğimi, bu doğrunun xx-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına eşittir.
2
OO, PP ve QQ noktalarının doğrusallığını kullanarak Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası için doğru denklemini kurmak.
Doğru denklemi: y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x
Orijinden geçen ve eğimi mm olan doğrunun denklemi y=mxy = mx formundadır.
3
QQ noktasının yy-koordinatını (3\sqrt{3}) doğru denkleminde yerine yazarak xx-koordinatını (apsisini) bulmak.
x=3x = 3
QQ noktası bu doğru üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki geometrik yorumu, standart açıların indirgenmesi ve doğrunun analitik incelenmesi.

Alternative Method

PP ve QQ noktalarının koordinatları oranından benzerlik veya eğim eşitliği kullanılarak bulunabilir. PP noktası birim çember üzerinde θ=7π/6\theta = 7\pi/6 açısına karşılık geldiğinden koordinatları P(cos⁡(7π/6),sin⁡(7π/6))=P(−32,−12)P(\cos(7\pi/6), \sin(7\pi/6)) = P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}) olur. OO, PP ve QQ noktaları doğrusal olduğundan yPxP=yQxQ  ⟹  −1/2−3/2=3x  ⟹  13=3x  ⟹  x=3\frac{y_P}{x_P} = \frac{y_Q}{x_Q} \implies \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies x = 3 elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic