Türevlenebilir bir f fonksiyonunun grafiğine x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğru… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun grafiğine $x = 2$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

f(2) = 3

olmak üzere,

g

fonksiyonu

g(x) = f\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $g'(2)$ kaçtır?

Answer: 0.75

Türevlenebilir

f

g

fonksiyonları için zincir kuralı ve bölüm türevi kuralları uygulanarak

g'(2)

değeri

0.75

olarak bulunur.

Orijinden ve

(2,3)

noktasından geçen teğet doğrusunun eğimi

\frac{3}{2}

'dir. Dolayısıyla

f'(2) = 1.5

olur. Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı ve bölüm türevi uygulandığında içteki fonksiyonun türevi

0.5

olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı

1.5 \cdot 0.5 = 0.75

sonucunu verir.

Teğet doğrusunun eğimini hesaplama

f'(2) = 1.5

x=2

apsisli teğet noktası

(2, 3)

olup bu noktadan çizilen teğet doğrusu

(0,0)

noktasından geçtiği için eğimi

m = \frac{3-0}{2-0} = 1.5

olur. Bu eğim değeri fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

g(x)

fonksiyonuna zincir kuralını uygulama

g'(x) = f'\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right) \cdot \left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)'

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, dıştaki fonksiyonun içinin türevi ile dıştaki fonksiyonun türevinin çarp��mı alınmalıdır.

İçteki fonksiyonun

x=2

noktasındaki değerini ve türevini hesaplama

u(2) = 2

u'(2) = 0.5

u(x) = \frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}

olsun. Bölüm türevi kuralı uygulandığında

u'(x) = \frac{(2x - f'(x))(x-1) - (x^2 - f(x) + 1)}{(x-1)^2}

elde edilir.

x=2

için bu değerler yerine konulur.

Elde edilen tüm değerleri birleştirerek nihai türevi bulma

g'(2) = 0.75

g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot u'(2) = 1.5 \cdot 0.5 = 0.75

bulunur.

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Question