Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde birinci bölgede bir AA noktası ve ikinci bölgede bir BB noktası yer almaktadır. [OA][OA] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı θ\theta ve [OB][OB] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı 90∘+θ90^\circ + \theta'dır. θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) olmak üzere, AA ve BB noktalarının yy-eksenine olan uzaklıkları toplamı 75\frac{7}{5} birimdir. Buna göre, cos⁡θ\cos\theta değeri kaçtır?

Answer: 0.6

Answer

0.6 (veya 3/5)
Birim çember üzerindeki A ve B noktalarının y-eksenine olan uzaklıkları sırasıyla |cos θ| ve |-sin θ| değerleridir. Birinci ve ikinci bölgelerde bu değerler cos θ ve sin θ olup toplamları 7/5'tir. Bu toplamın karesi alınarak sin θ - cos θ farkı 1/5 bulunur ve buradan taraf tarafa işlemle cos θ = 0.6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
A ve B noktalarının koordinatlarını birim çember üzerindeki açılarına göre belirleme.
A(cos⁡θ,sin⁡θ)A(\cos\theta, \sin\theta) ve B(−sin⁡θ,cos⁡θ)B(-\sin\theta, \cos\theta)
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, orijinle birleştiren doğrunun pozitif x-ekseniyle yaptığı açının kosinüsü ve sinüsüdür. B noktası için cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta ve sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ+\theta) = \cos\theta dönüşümleri kullanılır.
2
Noktaların y-eksenine olan uzaklıklarını mutlak değer cinsinden yazma ve toplama.
dA+dB=cos⁡θ+sin⁡θ=75d_A + d_B = \cos\theta + \sin\theta = \frac{7}{5}
Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı apsisinin mutlak değeridir. Birinci bölgede cos⁡θ>0\cos\theta > 0 ve θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) için ikinci bölgedeki apsis negatif (−sin⁡θ<0-\sin\theta < 0) olduğundan mutlak değeri sin⁡θ\sin\theta olur.
3
Toplam ifadesinin karesini alarak çarpım terimini elde etme.
2sin⁡θcos⁡θ=24252\sin\theta\cos\theta = \frac{24}{25}
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta özdeşliği kullanılır.
4
Fark ifadesinin karesini yazarak fark değerini bulma.
sin⁡θ−cos⁡θ=15\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5}
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ=1−2425=125(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} olur. θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) aralığında sin⁡θ>cos⁡θ\sin\theta > \cos\theta olduğundan fark pozitiftir.
5
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek kosinüs değerine ulaşma.
cos⁡θ=35=0.6\cos\theta = \frac{3}{5} = 0.6
sin⁡θ+cos⁡θ=75\sin\theta + \cos\theta = \frac{7}{5} ve sin⁡θ−cos⁡θ=15\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5} denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında 2cos⁡θ=652\cos\theta = \frac{6}{5} elde edilir.

Key Concept

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve trigonometrik oranların indirgeme formülleri.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic