Examkin

Question

Difficulty: HardBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için,

* x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğeti y=−x+2y = -x + 2 doğrusudur.
* x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğeti y=2x−3y = 2x - 3 doğrusudur.

Buna göre,
g(x)=f(x⋅f(4−x))g(x) = f(x \cdot f(4 - x))

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=3x = 3 noktasındaki türevinin değeri olan g′(3)g'(3) kaçtır?

  1. A
    -4
  2. B
    -2
  3. 8Answer
  4. D
    2
  5. E
    4

Answer

Doğru cevap 8'dir.
Bileşke fonksiyon türevi ve çarpım kuralı eksiksiz uygulandığında g′(3)=f′(3⋅f(1))⋅[f(1)−3⋅f′(1)]g'(3) = f'(3 \cdot f(1)) \cdot [f(1) - 3 \cdot f'(1)] ifadesi elde edilir. Teğet doğrularının denklemlerinden okunan f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=−1f'(1) = -1 ve f′(3)=2f'(3) = 2 değerleri yerine yazıldığında sonuç 8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrularının denklemlerini kullanarak ff fonksiyonunun ilgili noktalardaki değerlerini ve türevlerini belirlemek.
x=1x = 1 noktasındaki teğet y=−x+2y = -x + 2 olduğundan, teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) bu doğru üzerindedir. Buradan f(1)=−1+2=1f(1) = -1 + 2 = 1 ve teğetin eğimi olan türev f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.

x=3x = 3 noktasındaki teğet y=2x−3y = 2x - 3 olduğundan, teğet noktası (3,f(3))(3, f(3)) bu doğru üzerindedir. Buradan f(3)=2(3)−3=3f(3) = 2(3) - 3 = 3 ve teğetin eğimi olan türev f′(3)=2f'(3) = 2 bulunur.
Bileşke fonksiyonun türevini alıp değerleri yerine yazabilmek için teğet-türev ilişkisinden yararlanılması gerekir.
2
g(x)=f(x⋅f(4−x))g(x) = f(x \cdot f(4 - x)) fonksiyonunun türev kuralını yazmak.
Zincir kuralı gereği:
g′(x)=f′(x⋅f(4−x))⋅ddx[x⋅f(4−x)]g'(x) = f'(x \cdot f(4 - x)) \cdot \frac{d}{dx}[x \cdot f(4 - x)]

İçteki ifadenin türevi için çarpım kuralı ve f(4−x)f(4-x) bileşkesi için zincir kuralı uyguland��ğında:
ddx[x⋅f(4−x)]=1⋅f(4−x)+x⋅f′(4−x)⋅(−1)=f(4−x)−x⋅f′(4−x)\frac{d}{dx}[x \cdot f(4 - x)] = 1 \cdot f(4 - x) + x \cdot f'(4 - x) \cdot (-1) = f(4 - x) - x \cdot f'(4 - x)

Böylece türev fonksiyonu:
g′(x)=f′(x⋅f(4−x))⋅[f(4−x)−x⋅f′(4−x)]g'(x) = f'(x \cdot f(4 - x)) \cdot [f(4 - x) - x \cdot f'(4 - x)] olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevini alırken dıştan içe doğru türev çarpımları zincir kuralına göre yapılmalıdır.
3
g′(x)g'(x) ifadesinde x=3x = 3 yazarak sonucu hesaplamak.
g′(3)=f′(3⋅f(1))⋅[f(1)−3⋅f′(1)]g'(3) = f'(3 \cdot f(1)) \cdot [f(1) - 3 \cdot f'(1)]

Adım 1'de bulduğumuz f(1)=1f(1) = 1 ve f′(1)=−1f'(1) = -1 değerlerini yerine koyalım:
g′(3)=f′(3⋅1)⋅[1−3⋅(−1)]g'(3) = f'(3 \cdot 1) \cdot [1 - 3 \cdot (-1)]
g′(3)=f′(3)⋅[1+3]g'(3) = f'(3) \cdot [1 + 3]
g′(3)=f′(3)⋅4g'(3) = f'(3) \cdot 4

f′(3)=2f'(3) = 2 değerini de yerine yazarsak:
g′(3)=2⋅4=8g'(3) = 2 \cdot 4 = 8 elde edilir.
İstenen g′(3)g'(3) değerine ulaşmak için elde edilen türev fonksiyonuna x=3x=3 yazılır ve bilinen değerler yerine konur.

Key Concept

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir. Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki türevine eşittir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic