Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Dik koordinat düzleminde, y=x2−5x+7y = x^2 - 5x + 7 parabolü üzerindeki bir noktanın y=x−5y = x - 5 doğrusuna olan uzaklığı en az kaç birimdir?

  1. A
    1328\frac{13\sqrt{2}}{8}
  2. B
    3
  3. 322\frac{3\sqrt{2}}{2}Answer
  4. D
    626\sqrt{2}
  5. E
    3922\frac{39\sqrt{2}}{2}

Answer

Parabolün doğruya olan en kısa uzaklığı 322\frac{3\sqrt{2}}{2} birimdir.
Parabol üzerindeki genel bir P(a,a2−5a+7)P(a, a^2 - 5a + 7) noktasının x−y−5=0x - y - 5 = 0 doğrusuna olan dik uzaklığı formülle kurulduğunda pay kısmında ∣−a2+6a−12∣|-a^2 + 6a - 12| ifadesi elde edilir. Bu ifadenin tepe noktasında alabileceği minimum mutlak değer 3'tür. Formüldeki payda değeri olan 2\sqrt{2}'ye bölündüğünde en kısa uzaklık 322\frac{3\sqrt{2}}{2} birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parabol üzerindeki genel bir nokta tanımlanır.
Nokta P(a,a2−5a+7)P(a, a^2 - 5a + 7) olarak ifade edilir.
En yakın noktanın koordinatlarını tek bir değişkene bağlı olarak yazmak için.
2
Noktanın doğruya olan uzaklık formülü uygulanır.
Uzaklık d=∣a−(a2−5a+7)−5∣12+(−1)2=∣−a2+6a−12∣2d = \frac{|a - (a^2 - 5a + 7) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a^2 + 6a - 12|}{\sqrt{2}} olarak elde edilir.
Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığını hesaplamak için.
3
Mutlak değerin içindeki ikinci dereceden ifadenin alabileceği en büyük değer tepe noktası yardımıyla bulunur.
−a2+6a−12-a^2 + 6a - 12 ifadesinin tepe noktasının apsisi r=−62(−1)=3r = \frac{-6}{2(-1)} = 3 olur. Bu değer yerine yazıldığında en büyük değer −32+6(3)−12=−3-3^2 + 6(3) - 12 = -3 olarak bulunur. İfade daima negatif değerler aldığı için mutlak değeri en az ∣−3∣=3|-3| = 3 olur.
Uzaklık fonksiyonunu en küçük yapan değeri belirlemek için.
4
En küçük uzaklık hesaplanarak payda rasyonel hale getirilir.
dmin=32=322d_{\text{min}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} birimdir.
Köklü ifadenin eşleniği ile çarpılarak nihai sonucun bulunması için.

Key Concept

Bir parabol üzerindeki bir noktanın bir doğruya olan en kısa uzaklığının ikinci dereceden fonksiyonların en büyük/en küçük değeri yardımıyla bulunması.

Alternative Method

Parabolün doğruya en yakın olduğu noktadaki teğetinin eğimi, doğrunun eğimine eşit olmalıdır. y=x−5y = x - 5 doğrusunun eğimi 11 olduğundan, parabolün türevi olan y′=2x−5y' = 2x - 5 ifadesi 11'e eşitlenir. Buradan 2x−5=1  ⟹  x=32x - 5 = 1 \implies x = 3 bulunur. Noktanın parabol üzerindeki ordinatı ise y=32−5(3)+7=1y = 3^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. Böylece en yakın nokta P(3,1)P(3, 1) olarak elde edilir. Bu noktanın x−y−5=0x - y - 5 = 0 doğrusuna olan uzaklığı ∣3−1−5∣12+(−1)2=32=322\frac{|3 - 1 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} birim olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic