Examkin

Question

Difficulty: MediumMaksimum ve Minimum Problemleri

Toplam uzunluğu 36 cm36\text{ cm} olan bir telin tamamı bükülerek bir daire dilimi oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu daire diliminin alanı en fazla kaç cm2\text{cm}^2 olabilir?

  1. A
    5454
  2. B
    7272
  3. C
    8080
  4. 8181Answer
  5. E
    162162

Answer

Oluşturulabilecek daire diliminin maksimum alanı 81 cm281\text{ cm}^2 olmalıdır.
Doğru seçenekte belirtilen 8181 değeri, çevre bağıntısından elde edilen a=36−2ra = 36 - 2r ifadesinin alan formülü olan A=12raA = \frac{1}{2}ra içinde yerine yazılmasıyla elde edilen A(r)=18r−r2A(r) = 18r - r^2 fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenerek (r=9r = 9) hesaplanan maksimum alandır.

Step-by-Step Solution

1
Daire diliminin geometrik elemanlarını tanımlama ve çevre bağıntısını oluşturma.
Daire diliminin yarıçapı rr ve yay uzunluğu aa olmak üzere, çevre 2r+a=362r + a = 36 olarak yazılır. Buradan yay uzunluğu a=36−2ra = 36 - 2r şeklinde elde edilir.
Değişken sayisini bire indirmek için yarıçap ile yay uzunluğu arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Alan fonksiyonunu tek değişkene bağlı olarak yazma.
Alan A(r)=12⋅r⋅a=12r(36−2r)=18r−r2A(r) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a = \frac{1}{2}r(36-2r) = 18r - r^2 olarak bulunur.
Türev alarak maksimum alanı veren yarıçap değerini bulabilmek için tek değişkenli bir alan fonksiyonu gereklidir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.
A′(r)=18−2rA'(r) = 18 - 2r olur. 18−2r=0⇒r=918 - 2r = 0 \Rightarrow r = 9 bulunur.
Alan fonksiyonunun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır.
4
Maksimum alan değerini hesaplama.
A(9)=18(9)−92=162−81=81 cm2A(9) = 18(9) - 9^2 = 162 - 81 = 81\text{ cm}^2 elde edilir.
Kritik yarıçap değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak alabileceği en büyük değeri hesaplarız.

Key Concept

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması (Maksimum-Minimum Problemleri)
Rate this question

Topics

Maksimum ve Minimum Problemleri

More questions from this topic