Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\} kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈R∖{3}x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} için
f′(x)=(x−1)2(x−5)x−3f'(x) = \frac{(x-1)^2(x-5)}{x-3}
olarak verilmiştir.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    8
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    4

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.
Türev fonksiyonunun işaret tablosu incelendiğinde, x=5x = 5 noktasında türevin işareti negatiften pozitife dönmektedir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Bu nedenle x=5x = 5 noktası yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır. Diğer taraftan, x=1x = 1 noktasında türev çift katlı köke sahip olduğundan işaret değiştirmemiştir; x=3x = 3 noktasında ise fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısıyla, tek yerel ekstremum noktasının apsisi 5'tir ve apsisler toplamı da 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Türevin kritik noktalarını belirlemek için payı ve paydayı sıfır yapan noktaları bulalım.
Payın kökleri: (x−1)2=0  ⟹  x=1(x-1)^2 = 0 \implies x = 1 (çift katlı kök) ve x−5=0  ⟹  x=5x-5 = 0 \implies x = 5 (tek katlı kök). Paydanın kökü: x−3=0  ⟹  x=3x-3 = 0 \implies x = 3 (tek katlı kök, tanımsızlık noktası).
Yerel ekstremum noktaları türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur; bu noktaları belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.
2
Bulunan kritik noktalara göre türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.
x<1x < 1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (fonksiyon artan),
1<x<31 < x < 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (fonksiyon artan),
3<x<53 < x < 5 için f′(x)<0f'(x) < 0 (fonksiyon azalan),
x>5x > 5 için f′(x)>0f'(x) > 0 (fonksiyon artan).
İşaret tablosu yardımıyla türevin hangi noktalarda işaret değiştirdiğini belirleyebiliriz.
3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktaların tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edelim.
x=1x = 1 noktasında türev işaret değiştirmemiştir (++ iken ++ kalmıştır), dolayısıyla bu nokta yerel ekstremum değildir. x=3x = 3 noktasında türev işaret değiştirmiştir ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değildir (3∉R∖{3}3 \notin \mathbb{R} \setminus \{3\}), bu yüzden bu nokta da yerel ekstremum olamaz. x=5x = 5 noktasında türev −- işaretinden ++ işaretine geçerek işaret değiştirmiştir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Dolayısıyla x=5x = 5 noktası fonksiyonun yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için o noktada fonksiyonun tanımlı olması ve türevinin işaret değiştirmesi şarttır.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulalım.
Tek yerel ekstremum noktasının apsisi x=5x = 5 olduğundan, apsisler toplamı 55 olur.
Soruda istenen toplam değerini elde etmek için bulduğumuz apsis değerlerini toplarız.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Türevin çift katlı köklerinde veya fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic