Examkin

Question

Difficulty: Hardİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

a,ba, b ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak ��zere,

ax2+bx+c≤0ax^2 + bx + c \le 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Buna göre,

I. a⋅c>0a \cdot c > 0
II. a+b+c>0a + b + c > 0
III. ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi R∖{−b2a}\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{b}{2a}\right\} kümesidir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve III ifadeleri kesinlikle doğrudur.
Verilen eşitsizliğin tek elemanlı bir çözüm kümesine sahip olması, ifadenin disriminantının sıfır (Δ=0 \Delta = 0) ve baş katsayısının pozitif (a>0a > 0) olmasını gerektirir. Δ=0⇒b2=4ac\Delta = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac eşitliğinde bb sıfırdan farklı olduğundan a⋅c>0a \cdot c > 0 elde edilir (I. öncül doğrudur). Ayrıca, ifadenin tek kökü (çift katlı kök) −b2a-\frac{b}{2a} olduğundan, ifade bu değer hariç tüm gerçel sayılar için kesinlikle pozitiftir (III. öncül doğrudur). a+b+ca + b + c toplamı ise a=ca=c ve b<0b < 0 iken sıfıra eşit olabileceğinden kesinlikle sıfırdan büyük olmak zorunda değildir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin tek elemanlı olmasının grafiksel ve cebirsel şartlarını belirleme.
a>0a > 0 ve Δ=b2−4ac=0\Delta = b^2 - 4ac = 0 olmalıdır.
ax2+bx+c≤0ax^2 + bx + c \le 0 eşitsizliğinin yalnızca tek bir gerçel sayı için sağlanması, y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün xx eksenine teğet olması ve kollarının yukarı doğru (a>0a > 0) olması anlamına gelir. Eğer a<0a < 0 olsaydı, çözüm kümesi sonsuz elemanlı bir aralık olurdu.
2
I. öncülün doğruluğunu test etme.
a⋅c>0a \cdot c > 0 elde edilir.
b2−4ac=0⇒b2=4acb^2 - 4ac = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac olur. bb sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğundan b2>0b^2 > 0'dır. Dolayısıyla 4ac>04ac > 0 olmal��dır, bu da a⋅c>0a \cdot c > 0 olmasını gerektirir. I. öncül kesinlikle doğrudur.
3
II. öncülün doğruluğunu test etme.
a+b+c≥0a + b + c \ge 0 olup kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekmez.
a>0a > 0 ve ac>0ac > 0 olduğundan c>0c > 0'dır. b2=4ac⇒b=2acb^2 = 4ac \Rightarrow b = 2\sqrt{ac} veya b=−2acb = -2\sqrt{ac} olur. b=−2acb = -2\sqrt{ac} durumunda, a+b+c=a−2ac+c=(a−c)2≥0a + b + c = a - 2\sqrt{ac} + c = (\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 \ge 0 elde edilir. Eğer a=ca = c ise (örneğin a=1,b=−2,c=1a=1, b=-2, c=1) a+b+c=0a + b + c = 0 olur ve ifade sıfırdan büyük olmaz. II. öncül kesinlikle doğru değildir.
4
III. öncülün doğruluğunu test etme.
Çözüm kümesi R∖{−b2a}\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{b}{2a}\right\} kümesidir.
ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 eşitsizliğinde, ifademiz teğetlikten dolayı a(x−(−b2a))2>0a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 > 0 şeklinde yazılabilir. a>0a > 0 olduğundan, bu ifade tepe noktasının apsisi olan çift katlı kök x=−b2ax = -\frac{b}{2a} dışındaki tüm gerçel sayılar için pozitiftir. III. öncül kesinlikle doğrudur.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli ifadelerin işaret incelemesi ve teğetlik (çift katlı kök) durumlarında çözüm kümesi analizi.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi