Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡2x−cos⁡2xb=tan⁡x−cot⁡xc=sec⁡x−csc⁡x\begin{aligned} a &= \sin^2 x - \cos^2 x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}
sayıları veriliyor.
Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. a < c < bAnswer
  2. B
    a < b < c
  3. C
    c < a < b
  4. D
    b < c < a
  5. E
    c < b < a

Answer

a < c < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sinüs değeri kosinüs değerinden, tanjant değeri ise kotanjant değerinden büyüktür. Bu durum a>0a > 0 ve b>0b > 0 olmasını sağlar. İfadeler sadeleştirildiğinde b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) ilişkisi elde edilir. Açı 45∘45^\circ ile 90∘90^\circ arasında olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı 11'den büyüktür ve bu nedenle b>cb > c olur. Benzer şekilde, c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} bağıntısında payda 11'den küçük pozitif bir değer olduğu için c>ac > a sonucu çıkar. Bu iki durum birleştirildiğinde a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açının bulunduğu aralığa göre fonksiyonların temel büyüklük ilişkilerini belirleme.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan 45∘<x<90∘45^\circ < x < 90^\circ aralığındadır. Bu bölgede sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir.
Sıralama yapabilmek için öncelikle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin birbirlerine göre durumlarını tespit etmeliyiz.
2
Verilen ifadeleri birbirleri cinsinden yazarak karşılaştırma yapma.
a=sin⁡2x−cos⁡2x>0a = \sin^2 x - \cos^2 x > 0 ve b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=asin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x} olur. Bu aralıkta sin⁡xcos⁡x<12\sin x \cos x < \frac{1}{2} olduğundan 1sin⁡xcos⁡x>2\frac{1}{\sin x \cos x} > 2'dir. Dolayısıyla b>2a>ab > 2a > a elde edilir.
Değişkenleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek ve aralarındaki katsayı ilişkisini bulmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Sekant ve kosekant farkı olan c değerini diğer ifadelerle ilişkilendirme.
c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} olur. Buradan b=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=c(sin⁡x+cos⁡x)b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c(\sin x + \cos x) bağıntısı kurulur. Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 ve c>0c > 0 olduğundan b>cb > c olmalıdır. Ayrıca c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} ifadesinde payda 11'den küçük olduğundan c>ac > a bulunur. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralamasına ulaşılır.
Cebirsel özdeşlikler kullanılarak tüm ifadelerin birbirine bağlı oranları incelenir ve kesin sıralama bulunur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki değer aralıklarının belirlenmesi ve temel özdeşliklerin sadeleştirilerek sıralanması.

Alternative Method

Sıralamayı doğrulamak veya sınavda pratik çözüme ulaşmak için aralıkta bulunan özel bir açı değeri seçilebilir. Örneğin, x=60∘x = 60^\circ (π3\frac{\pi}{3} radyan) seçilirse; sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}, cot⁡60∘=33\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, sec⁡60∘=2\sec 60^\circ = 2 ve csc⁡60∘=233\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} değerleri elde edilir. Buradan a=0,75−0,25=0,5a = 0,75 - 0,25 = 0,5, b=3−33=233≈1,15b = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,15 ve c=2−233≈0,85c = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0,85 bulunur. Bu değerlerin sıralaması doğrudan a<c<ba < c < b sonucunu verir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic