a bir gerçel sayı parametresi olmak üzere, f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$a$ bir gerçel sayı parametresi olmak üzere,

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 4 \\ ax - 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f(x)$ fonksiyonu yalnızca bir noktada süreksiz olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Answer: 3

Answer

a parametresinin değeri 3'tür.

Fonksiyonun

x = 3

noktasında tanımsız olmasından dolayı süreksiz olduğu belirlendikten sonra, yalnızca bir süreksizlik noktası olması için

x = 4

noktasında sürekli olması gerektiği görülür.

x = 4

noktasındaki sol ve sağ limitlerin eşitliğinden

4a - 5 = 7

denklemi elde edilir ve buradan

a

değeri 3 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

İlk dal olan rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değeri belirleyin.

x = 3

için payda sıfır olur.

3 < 4

olduğundan bu nokta fonksiyonun tanım kümesindedir ancak fonksiyon bu noktada tanımsızdır.

Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve dolayısıyla süreksizdir.

x = 3

noktasındaki süreksizliği ve sorunun koşulunu analiz edin.

Fonksiyon

x = 3

noktasında kesinlikle süreksizdir. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması istendiğinden, diğer kritik nokta olan

x = 4

sınır noktasında sürekli olması gerekir.

Eğer

x = 4

noktasında da süreksizlik olsaydı, fonksiyonun süreksiz olduğu iki farklı nokta bulunurdu.

x = 4

noktasında süreklilik şartını uygulayarak

a

değerini bulun.

Sol limit:

\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{16 - 9}{4 - 3} = 7

Sağ limit ve fonksiyon değeri:

f(4) = 4a - 5

Eşitlikten:

4a - 5 = 7 \implies 4a = 12 \implies a = 3

elde edilir.

Bir fonksiyonun sınır noktasında sürekli olması için o noktadaki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılsa bile paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesine dahil edilmediği için süreksizlik noktalarıdır.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic