Examkin

Question

Difficulty: HardAritmetik Dizi ve Özellikleri
Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde ortak fark pozitif bir gerçel sayıdır. Bu dizinin terimleri arasında,
a5+a9=34a_5 + a_9 = 34
a32+a112=706a_3^2 + a_{11}^2 = 706
e��itlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Answer: 5

Answer

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 55 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerde simetrik indislerin aritmetik ortalaması ortadaki terimi verir (a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7). Buradan a7=17a_7 = 17 bulunur. a3a_3 ve a11a_{11} terimleri sırasıyla a7−4ra_7 - 4r ve a7+4ra_7 + 4r şeklinde yazılıp kareleri toplandığında çapraz terimler birbirini götürür ve 2(172+16r2)=7062(17^2 + 16r^2) = 706 denklemi elde edilir. Buradan r2=4r^2 = 4 ve pozitiflik şartından r=2r = 2 bulunur. Son olarak a1=a7−6r=17−12=5a_1 = a_7 - 6r = 17 - 12 = 5 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İndis simetrisini kullanarak a7a_7 terimini belirleme
a7=17a_7 = 17
a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7 bağıntısı aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki simetriden kaynaklanır.
2
a3a_3 ve a11a_{11} terimlerini a7a_7 ve ortak fark rr türünden yazma
a3=17−4ra_3 = 17 - 4r ve a11=17+4ra_{11} = 17 + 4r
Bilinmeyen sayısını azaltmak için terimleri a7a_7 referans alınarak ifade etmek kolaylık sağlar.
3
Kareler toplamı eşitliğinde yerine yazarak ortak fark rr'yi bulma
r=2r = 2
(17−4r)2+(17+4r)2=2(289+16r2)=706(17-4r)^2 + (17+4r)^2 = 2(289 + 16r^2) = 706 denkleminden r2=4r^2 = 4 ve pozitif ortak fark şartından r=2r=2 elde edilir.
4
a1a_1 ilk terimini hesaplama
a1=5a_1 = 5
a7=a1+6ra_7 = a_1 + 6r genel terim formülünden yararlanılır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması ve genel terim özellikleri.
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic