Examkin

Question

Difficulty: MediumRiemann Toplamı

[0,4][0, 4] kapalı aralığında tanımlı f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun bu aralıkta 22 eş alt aralığa göre hesaplanan Riemann alt toplamı 88'dir.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur. Riemann alt toplamı 88 olarak hesaplanır.
Fonksiyon [0,4][0, 4] aralığında sürekli azalan olduğundan, her alt aralıktaki en küçük değerler sağ uç noktalarda gerçekleşir. [0,2][0, 2] aralığı için en küçük değer f(2)=8f(2) = 8, [2,4][2, 4] aralığı için en küçük değer f(4)=−4f(4) = -4 olup Riemann alt toplamı 2⋅(8+(−4))=82 \cdot (8 + (-4)) = 8 bulunur. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Aralık genişliğini (Δx\Delta x) ve alt aralıkları belirleme
Δx=4−02=2\Delta x = \frac{4 - 0}{2} = 2 olup alt aralıklar [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] şeklinde elde edilir.
Riemann toplamı hesaplanırken aralığın kaç eş parçaya bölündüğü ve her bir parçanın genişliği temel alınır.
2
Fonksiyonun artan/azalan olma durumunu inceleme
f′(x)=−2xf'(x) = -2x olup, x∈[0,4]x \in [0, 4] için f′(x)≤0f'(x) \le 0 olduğundan fonksiyon azalandır. En küçük değerler alt aralıkların sağ uçlarında (x=2x = 2 ve x=4x = 4) oluşur.
Riemann alt toplamında, fonksiyonun her bir alt aralıktaki minimum değerleri yükseklik olarak seçilmelidir.
3
Belirlenen noktalardaki değerleri hesaplama ve alt toplamı bulma
f(2)=12−22=8f(2) = 12 - 2^2 = 8 ve f(4)=12−42=−4f(4) = 12 - 4^2 = -4 bulunur. Buradan Riemann alt toplamı L=2⋅(f(2)+f(4))=2⋅(8−4)=8L = 2 \cdot (f(2) + f(4)) = 2 \cdot (8 - 4) = 8 elde edilir.
Her bir alt aralığın genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann alt toplamını verir.

Key Concept

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili aralıktaki monotonluk (artan/azalan) durumuna göre alt aralıklardaki minimum değerlerin belirlenmesi gerekir.
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic