Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizi ve Özellikleri
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a7=a5+6a3a_7 = a_5 + 6a_3
a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

  1. A
    33
  2. 2\sqrt{2}Answer
  3. C
    63\frac{\sqrt{6}}{3}
  4. D
    222\sqrt{2}
  5. E
    23\frac{\sqrt{2}}{3}

Answer

2\sqrt{2}
Dizinin terimleri an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} şeklinde yazıldığında, birinci denklemden r2=3r^2 = 3 elde edilir. İkinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi, geometrik dizi özelliği gereği a32=18a_3^2 = 18 eşitliğini verir. Buradan pozitif terimli dizi için a3=32a_3 = 3\sqrt{2} olur. Son olarak a1=a3/r2a_1 = a_3 / r^2 bağıntısından a1=2a_1 = \sqrt{2} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İlk verilen eşitliği ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a7=a5+6a3  ⟹  a1r6=a1r4+6a1r2a_7 = a_5 + 6a_3 \implies a_1 r^6 = a_1 r^4 + 6 a_1 r^2
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulmak.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirip rr değerini bulalım.
a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olduğundan denklemin her iki tarafını a1r2a_1 r^2 ile bölebiliriz:
r4=r2+6  ⟹  r4−r2−6=0r^4 = r^2 + 6 \implies r^4 - r^2 - 6 = 0
Bu denklem (r2−3)(r2+2)=0(r^2 - 3)(r^2 + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan r2>0r^2 > 0 olmalıdır. Buradan r2=3r^2 = 3 bulunur.
Ortak çarpanın karesini (r2r^2) belirlemek.
3
İkinci eşitliği kullanarak üçüncü terimi (a3a_3) bulalım.
Geometrik dizide ardışık terimlerin özelliğinden a2⋅a4=a32a_2 \cdot a_4 = a_3^2 olur. Verilen a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 eşitliğinden:
a32=18  ⟹  a3=18=32a_3^2 = 18 \implies a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
(Dizinin terimleri pozitif olduğundan pozitif kök alınır.)
İkinci denklemden dizinin üçüncü terimini elde etmek.
4
İlk terimi (a1a_1) hesaplayalım.
a3=a1⋅r2  ⟹  32=a1⋅3  ⟹  a1=2a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 3\sqrt{2} = a_1 \cdot 3 \implies a_1 = \sqrt{2}
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak a1a_1 değerine ulaşmak.

Key Concept

Geometrik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasıdır (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur.

Alternative Method

Alternatif olarak, ikinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi doğrudan a1r⋅a1r3=a12r4=18a_1 r \cdot a_1 r^3 = a_1^2 r^4 = 18 şeklinde yazılabilir. İlk denklemden elde edilen r2=3r^2 = 3 değeri burada yerine konulursa: a12⋅32=18  ⟹  9a12=18  ⟹  a12=2a_1^2 \cdot 3^2 = 18 \implies 9 a_1^2 = 18 \implies a_1^2 = 2 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a1=2a_1 = \sqrt{2} bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic