x \neq 1 olmak üzere, pozitif gerçel sayılarda tanımlı 3^{\log_5 x} + x^{\log_5 3} = 18\neşitliği veriliyor. Buna göre, \log_x 125 ifadesinin değeri kaçtır?

x \neq 1 olmak üzere, pozitif gerçel sayılarda tanımlı 3^{\log_5 x} + x^{\log_5 3} = 18\ne… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \neq 1

olmak üzere, pozitif gerçel sayılarda tanımlı

3^{\log_5 x} + x^{\log_5 3} = 18

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $\log_x 125$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{3}{2}

Verilen denklemde logaritmanın

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliği kullanılarak

x^{\log_5 3}

terimi

3^{\log_5 x}

olarak yazılır. Denklem

2 \cdot 3^{\log_5 x} = 18

haline gelir ve buradan

3^{\log_5 x} = 9

elde edilir. Üstel ifadenin çözümünden

\log_5 x = 2

bulunur. Son olarak, taban değiştirme kuralı uygulanarak

\log_x 125 = \frac{\log_5 125}{\log_5 x} = \frac{3}{2}

sonucuna ulaşılır.

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri düzenlemek.

x^{\log_5 3} = 3^{\log_5 x}

eşitliği elde edilir.

Denklemi tek bilinmeyenli üstel bir ifadeye dönüştürmek amacıyla bu kuraldan yararlan��lır.

Düzenlenen terimi denklemde yerine koyarak denklemi sadeleştirmek.

3^{\log_5 x} + 3^{\log_5 x} = 18 \implies 2 \cdot 3^{\log_5 x} = 18 \implies 3^{\log_5 x} = 9

elde edilir.

Bilinmeyen içeren üstel ifadenin tek başına bırakılması ve değerinin bulunması hedeflenir.

Elde edilen üstel denklemi çözerek

\log_5 x

değerine ulaşmak.

3^{\log_5 x} = 3^2 \implies \log_5 x = 2

bulunur.

İstenen logaritmik ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel logaritma değerine ulaşılması gerekir.

Taban değiştirme özelliğini kullanarak

\log_x 125

ifadesini

\log_5

tabanında yazmak ve hesaplamak.

\log_x 125 = \frac{\log_5 125}{\log_5 x} = \frac{3}{2}

elde edilir.

Soru kökünde bizden istenen ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme