Examkin

Question

Difficulty: HardTekrarlı Permütasyon

Özdeş 3 mavi ve özdeş 3 kırmızı oyuncak, 3 çocuk arasında paylaştırılacaktır.

Buna göre, her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla bu paylaştırma işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

Answer: 55

Answer

Her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla paylaştırma işlemi 55 farklı şekilde yapılabilir.
Tüm durumlar mavi oyuncakların çocuklara dağılımındaki sayı gruplarına göre analiz edilmiştir. Mavi oyuncaklar çocuklara (1,1,1), (2,1,0) veya (3,0,0) grupları şeklinde dağıtılabilir. Her bir grupta boşta kalan çocuklara kırmızı oyuncaklardan en az birer tane verilmesi garanti edilerek yapılan hesaplamaların toplamı 55 değerini vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Mavi oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon (ayraç yöntemi) ile bulma
10 farklı durum
3 özdeş mavi oyuncak ve çocukları ayırmak için kullanılan 2 özdeş ayraç toplam 5 eleman oluşturur. Bu elemanların dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
2
Kırmızı oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon ile bulma
10 farklı durum
Mavi oyuncaklarla aynı mantıkla, 3 özdeş kırmızı oyuncak ve 2 özdeş ayraç için dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
3
Hiçbir çocuğun oyuncaksız kalmaması koşulunu mavi oyuncakların dağılım durumlarına göre inceleme
3 farklı senaryonun toplamı: 10 + 36 + 9 = 55 durum
Mavi oyuncakların dağılımı (1, 1, 1), (2, 1, 0) veya (3, 0, 0) şeklinde olabilir. (1, 1, 1) dağılımında (1 yolla gerçekleşir) her çocukta zaten oyuncak olduğundan kırmızı oyuncaklar kısıtlamasız dağıtılır (1×10=101 \times 10 = 10 durum). (2, 1, 0) dağılımında (6 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 1 çocuğa garanti 1 kırmızı oyuncak verilir, kalan 2 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (6×(2+3−13−1)=366 \times \binom{2+3-1}{3-1} = 36 durum). (3, 0, 0) dağılımında (3 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 2 çocuğa garanti 1'er kırmızı oyuncak verilir, kalan 1 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (3×(1+3−13−1)=93 \times \binom{1+3-1}{3-1} = 9 durum).
4
Tüm senaryolardan elde edilen durum sayılarını toplama
55
Ayrık durumların toplamı bize genel kural gereği istenen tüm durumları verir.

Key Concept

Özdeş nesnelerin dağıtımında ayraç yöntemi kullanılarak tekrarlı permütasyon formülünün uygulanması ve koşullu durumların incelenmesi.
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic