Examkin

Question

Difficulty: HardGeometrik Dizi ve Özellikleri
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a1⋅a11=128a3+a9=36 \begin{aligned} a_1 \cdot a_{11} &= 128 \\ a_3 + a_9 &= 36 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Bu dizinin ortak çarpanı r>1r > 1 olduğuna göre, a5+a7a_5 + a_7 toplamı kaçtır?

  1. A
    36
  2. B
    80
  3. 24Answer
  4. D
    18
  5. E
    32

Answer

24
Geometrik dizinin terim çarpımı özelliğinden a3⋅a9=a1⋅a11=128a_3 \cdot a_9 = a_1 \cdot a_{11} = 128 bulunur. Toplamları 36 ve çarpımları 128 olan pozitif terimler 4 ve 32'dir. Ortak çarpan r>1r > 1 olduğundan dizi artandır, bu yüzden a3=4a_3 = 4 ve a9=32a_9 = 32 olmalıdır. Buradan a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2 bulunur. İstenen terimler a5=a3⋅r2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 8 ve a7=a3⋅r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 = 16 olup, bu terimlerin toplamı 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
İndisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği özelliğini uygulamak.
a1⋅a11=a3⋅a9=128a_1 \cdot a_{11} = a_3 \cdot a_9 = 128
Bir geometrik dizide p+q=r+sp + q = r + s ise ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s eşitliği geçerlidir.
2
a3a_3 ve a9a_9 terimlerini bulmak için toplam ve çarpım değerlerini kullanarak ikinci dereceden denklem kurmak.
x2−36x+128=0  ⟹  (x−4)(x−32)=0  ⟹  {a3,a9}={4,32}x^2 - 36x + 128 = 0 \implies (x-4)(x-32) = 0 \implies \{a_3, a_9\} = \{4, 32\}
Çarpımları 128 ve toplamları 36 olan terimleri bulmak için kökleri bu sayılar olan denklem çözülür.
3
Ortak çarpanın r>1r > 1 olma ko��ulunu kullanarak dizinin artan olduğunu belirlemek ve r2r^2 değerini hesaplamak.
a3=4a_3 = 4, a9=32a_9 = 32 ve a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2
Dizi artan olduğundan a3<a9a_3 < a_9 olmalıdır ve terimler arasındaki oran ortak çarpanın kuvvetini verir.
4
İstenen a5+a7a_5 + a_7 toplamını a3a_3 ve r2r^2 cinsinden yazıp hesaplamak.
a5=a3⋅r2=4⋅2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 4 \cdot 2 = 8 ve a7=a3⋅r4=4⋅4=16  ⟹  a5+a7=8+16=24a_7 = a_3 \cdot r^4 = 4 \cdot 4 = 16 \implies a_5 + a_7 = 8 + 16 = 24
Geometrik dizinin genel terim formülü kullanılarak istenen terimler bilinen terimler cinsinden ifade edilir.

Key Concept

Geometrik dizilerde terimlerin indisleri toplamı eşit olduğunda çarpımlarının eşit olması ve terimler arası oranların ortak çarpanın kuvvetlerine bağlı olması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic