Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6−S4=9⋅(S4−S2)S_6 - S_4 = 9 \cdot (S_4 - S_2)

ve S3=26S_3 = 26 olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Answer: 80

Answer

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S_4 değeri 80'dir.
Verilen terim toplamı farkları oranlandığında ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir. S3=26S_3 = 26 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=2a_1 = 2 bulunur. Buradan S4=S3+a4=26+54=80S_4 = S_3 + a_4 = 26 + 54 = 80 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade etme
S6−S4=a5+a6=a1r4+a1r5=a1r4(1+r)S_6 - S_4 = a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1 + r) ve S4−S2=a3+a4=a1r2+a1r3=a1r2(1+r)S_4 - S_2 = a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1 + r)
İlk n terim toplamı farkı, aradaki terimlerin toplamına eşittir.
2
Verilen denklemde ifadeleri yerine yazarak ortak çarpanı (r) bulma
r2=9r^2 = 9 ve pozitif terimli olduğu için r=3r = 3
a1r4(1+r)=9⋅a1r2(1+r)a_1 r^4(1 + r) = 9 \cdot a_1 r^2(1 + r) eşitliğinde pozitif terimlilikten ötürü a1(1+r)≠0a_1(1 + r) \neq 0 olduğundan sadeleştirme yapılarak r2=9r^2 = 9 bulunur.
3
S_3 toplamını kullanarak ilk terimi (a_1) bulma
a1=2a_1 = 2
S3=a1(1+r+r2)=a1(1+3+9)=13a1=26S_3 = a_1(1 + r + r^2) = a_1(1 + 3 + 9) = 13 a_1 = 26 eşitliği çözülür.
4
İlk 4 terim toplamını (S_4) hesaplama
S4=80S_4 = 80
S4=S3+a4=26+a1r3=26+2⋅33=26+54=80S_4 = S_3 + a_4 = 26 + a_1 r^3 = 26 + 2 \cdot 3^3 = 26 + 54 = 80 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı ve terimler arası ortak çarpan ilişkisi
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic