Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

x2−(a+1)x+a+4≤0x^2 - (a+1)x + a + 4 \leq 0

eşitsizliğini sağlayan yalnızca bir tane xx ger��el sayısı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?
  1. -15Answer
  2. B
    -8
  3. C
    2
  4. D
    8
  5. E
    15

Answer

-15
Verilen ikinci dereceden eşitsizliğin yalnızca bir gerçel sayı çözümü bulunması, bu ifadenin tam kare olmasıyla mümkündür. Dolayısıyla diskriminant sıfıra eşitlenerek a2−2a−15=0a^2 - 2a - 15 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri çarpımı −15-15 olduğundan doğru cevap −15-15 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin tek bir gerçel sayı çözümü olmasının koşulunu belirleme.
İkinci dereceden ifadenin diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır (Δ=0\Delta = 0).
x2x^2 teriminin katsayısı pozitif (1>01 > 0) olduğundan, bu ifade kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir. Bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgenin tek bir elemandan oluşması, parabolün xx eksenine teğet olması yani çift katlı köke sahip olması durumunda mümkündür.
2
Verilen ifadenin diskriminantını (Δ\Delta) hesaplama.
Δ=(a+1)2−4⋅1⋅(a+4)=a2−2a−15\Delta = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+4) = a^2 - 2a - 15
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülünü uygulamak için b=−(a+1)b = -(a+1) ve c=a+4c = a+4 değerleri yerine konur.
3
Diskriminantı sıfıra eşitleyip aa değerlerini bulma.
a2−2a−15=0⇒(a−5)(a+3)=0⇒a=5a^2 - 2a - 15 = 0 \Rightarrow (a-5)(a+3) = 0 \Rightarrow a = 5 veya a=−3a = -3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri elde ederiz.
4
Bulunan aa değerlerinin çarpımını hesaplama.
5⋅(−3)=−155 \cdot (-3) = -15
Soruda bizden aa parametresinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı istenmektedir.

Key Concept

İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için baş katsayısı pozitif iken ifadenin tam kare (Δ=0\Delta = 0) olması gerekir. Bu durumda eşitsizlik sadece teğet noktasında (çift katlı kökte) sağlanır.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi