Examkin

Question

Difficulty: Very hardİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c ve Q(x)=dx2+ex+fQ(x) = dx^2 + ex + f başkatsayıları sırasıyla aa ve dd olan ikinci dereceden gerçel katsayılı iki polinomdur. Bu polinomların diskriminantları sırasıyla Δ1\Delta_1 ve Δ2\Delta_2 olmak üzere, Δ1>0\Delta_1 > 0 ve Δ2>0\Delta_2 > 0 olduğu bilinmektedir. Buna göre, her x∈Rx \in \mathbb{R} için P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 eşitsizliğinin sağlanması durumunda P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümelerinin aynı olması zorunludur.

Answer: Answer

Answer

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 eşitsizliğinin sağlanması durumunda P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümelerinin aynı olması zorunludur ifadesi doğrudur.
Çarpım fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için negatif olmaması (sıfırdan büyük veya eşit olması), işaret tablosunda tek katlı kök bulunmadığını gösterir. P(x)P(x)'in iki farklı gerçel kökü olduğu için, bu köklerin çarpımda çift katlı köke dönüşmesi amacıyla Q(x)Q(x)'in de aynı köklere sahip olması gerekir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliklerde işaret değişim kuralını hatırlayınız.
Bir polinom çarpımının veya bölümünün işaret tablosunda, tek katlı köklerden geçilirken işaret değişir, çift katlı köklerden geçilirken ise işaret değişmez.
Çarpımın daima sıfırdan büyük veya eşit kalabilmesi için işaret tablosunda hiçbir kökte işaret değişimi gerçekleşmemelidir.
2
P(x)P(x) polinomunun kök karakterini analiz ediniz.
Δ1>0\Delta_1 > 0 olduğundan, P(x)P(x) polinomunun iki farklı reel kökü (x1x_1 ve x2x_2) vardır ve bunlar P(x)P(x) için tek katlı köklerdir.
Köklerin tek katlı olması, tek başına P(x)P(x)'in bu noktalarda işaret değiştireceği anlamına gelir.
3
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpımının işaret değiştirmeme koşulunu inceleyiniz.
Çarpım fonksiyonunun x1x_1 ve x2x_2 noktalarında işaret değiştirmemesi için, bu noktaların P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpım polinomunun çift katlı kökleri olması gerekir. Bu da ancak x1x_1 ve x2x_2 değerlerinin aynı zamanda Q(x)Q(x)'in de kökleri olmasıyla mümkündür.
Tek katlı köklerin çarpım altında çift katlı köke dönüşmesi için her iki polinomda da ortak olarak bulunmaları zorunludur.
4
Q(x)Q(x) polinomunun derecesini ve kök sayısını kontrol ederek sonucu elde ediniz.
Q(x)Q(x) ikinci dereceden bir polinom olduğundan en fazla iki köke sahip olabilir. Bu kökler x1x_1 ve x2x_2 olmak zorundadır. Dolayısıyla P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümeleri aynıdır.
Q(x)Q(x)'in derecesi 2 olduğundan başka bir kökü olamaz, bu yüzden kök kümeleri birebir eşleşir.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizliklerde köklerin katlılık durumuna göre işaret tablosunda işaret değişiminin incelenmesi
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi