Examkin

Question

Difficulty: MediumSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu yalnızca x=ax = a noktasında süreksiz ise ∣f∣|f| fonksiyonu da x=ax = a noktasında kesinlikle süreksizdir.

Answer: Answer

Answer

İfade yanlıştır. x=ax = a noktasında süreksiz olan bir fonksiyonun mutlak değerinin fonksiyonu o noktada sürekli olabilir.
İfade yanlıştır çünkü x=ax = a noktasında sıçrama tipi süreksizliğe sahip bir fonksiyonun mutlak değeri alındığında, sağ ve sol limitlerin mutlak değerleri birbirine eşit olabilir ve bu durum sürekliliği sağlayabilir.

Step-by-Step Solution

1
Süreklilik tanımını hatırlayalım.
ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması için lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) ��artının sağlanması gerekir. Eğer bu şart sağlanmıyorsa fonksiyon süreksizdir.
Süreksizliğin hangi koşullarda gerçekleştiğini belirlemek.
2
Mutlak değer fonksiyonu ∣f(x)∣|f(x)| için süreklilik durumunu inceleyelim.
∣f(x)∣|f(x)| fonksiyonunun x=ax = a noktasındaki limitleri lim⁡x→a−∣f(x)∣=∣lim⁡x→a−f(x)∣\lim_{x \to a^-} |f(x)| = |\lim_{x \to a^-} f(x)| ve lim⁡x→a+∣f(x)∣=∣lim⁡x→a+f(x)∣\lim_{x \to a^+} |f(x)| = |\lim_{x \to a^+} f(x)| olur.
Mutlak değer limitinin özelliklerini uygulamak.
3
Karşıt bir örnek (aksine örnek) kuralım.
f(x)={3,x≥1−3,x<1f(x) = \begin{cases} 3, & x \geq 1 \\ -3, & x < 1 \end{cases} fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun x=1x = 1 noktasında sağ limiti 33, sol limiti −3-3 olduğundan limiti yoktur ve süreksizdir. Ancak ∣f(x)∣=3|f(x)| = 3 sabit fonksiyonu elde edilir ve bu fonksiyon her xx gerçel sayısı için süreklidir.
İfadenin her zaman doğru olmadığını kanıtlamak.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada süreksiz olması, o noktanın mutlak değer fonksiyonu için de süreksizlik noktası olmasını gerektirmez.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic