Examkin

Question

Difficulty: HardAritmetik Dizi ve Özellikleri

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a1⋅a7−a42=−36a_1 \cdot a_7 - a_4^2 = -36
a2⋅a4=45a_2 \cdot a_4 = 45

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Answer: 17

Answer

Dizinin sekizinci terimi 17'dir.
Dizinin genel terim formülü kullanılarak birinci denklemden ortak fark r=2r = 2 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında ilk terim a1=3a_1 = 3 elde edilir. Bu değerlerle dizinin sekizinci terimi a8=a1+7r=17a_8 = a_1 + 7r = 17 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklemdeki terimleri ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden ifade etmek.
−9r2=−36-9r^2 = -36 eşitliği elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak ve ortak farkı doğrudan bulabilmek için.
2
Elde edilen denklemden ortak farkı (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden r>0r > 0 olmalıdır (r=−2r = -2 elenir).
3
İkinci denklemde terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp r=2r = 2 değerini yerine koymak.
(a1+2)(a1+6)=45(a_1 + 2)(a_1 + 6) = 45 denklemi elde edilir.
İlk terim olan a1a_1 değerini belirlemek için.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözmek.
a1=3a_1 = 3 bulunur.
Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan negatif kök olan a1=−11a_1 = -11 elenir.
5
Bulunan a1a_1 ve rr değerleriyle sekizinci terimi (a8a_8) hesaplamak.
a8=3+7⋅2=17a_8 = 3 + 7 \cdot 2 = 17 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terim formülü olan a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r bağıntısını uygulamak için.

Key Concept

Aritmetik dizide terimlerin genel terim formülü kullanılarak ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen denklemlerin çözülmesi.

Alternative Method

Birinci denklemde a1=a4−3ra_1 = a_4 - 3r ve a7=a4+3ra_7 = a_4 + 3r yazılarak (a4−3r)(a4+3r)−a42=−36  ⟹  a42−9r2−a42=−36  ⟹  9r2=36  ⟹  r=2(a_4 - 3r)(a_4 + 3r) - a_4^2 = -36 \implies a_4^2 - 9r^2 - a_4^2 = -36 \implies 9r^2 = 36 \implies r = 2 şeklinde daha hızlı bir sadeleştirme yapılabilir. Benzer şekilde ikinci denklemde a2=a3−2a_2 = a_3 - 2 ve a4=a3+2a_4 = a_3 + 2 yazılarak a32−4=45  ⟹  a3=7a_3^2 - 4 = 45 \implies a_3 = 7 bulunur. Buradan da a8=a3+5r=7+10=17a_8 = a_3 + 5r = 7 + 10 = 17 elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic