Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡2x1−sin⁡x−cos⁡2x1+sin⁡x=−65\frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} - \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} = -\frac{6}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, cot⁡x−csc⁡x\cot x - \csc x ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    3112\frac{31}{12}
  2. 3Answer
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. D
    −13-\frac{1}{3}
  5. E
    -3

Answer

İfadenin değeri 3'tür.
Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde 2sin⁡x=−652\sin x = -\frac{6}{5} elde edilir. Buradan sin⁡x=−35\sin x = -\frac{3}{5} bulunur. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur. Bu değerler yardımıyla üçüncü bölgede cot⁡x=43\cot x = \frac{4}{3} ve csc⁡x=−53\csc x = -\frac{5}{3} olarak hesaplanır. Farkları alındığında ise doğru değer olan 33 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel ifadeleri ortak paydada buluşturarak çıkarma işlemini uygulayalım.
cos⁡2x(1+sin⁡x)−cos⁡2x(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=−65\frac{\cos^2 x(1 + \sin x) - \cos^2 x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = -\frac{6}{5}
Rasyonel ifadelerde çıkarma işlemi yapabilmek için paydaları eşitlemek gerekir.
2
Payı dağıtıp düzenleyelim ve paydadaki 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x yerine temel kimlik olan cos⁡2x\cos^2 x yazarak ifadeyi sadeleştirelim.
2cos⁡2xsin⁡xcos⁡2x=2sin⁡x=−65  ⟹  sin⁡x=−35\frac{2\cos^2 x \sin x}{\cos^2 x} = 2\sin x = -\frac{6}{5} \implies \sin x = -\frac{3}{5}
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla bilinmeyen fonksiyon değerini yalnız bırakmak hedeflenmiştir.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) tanım aralığına göre açının üçüncü bölgede olduğunu belirleyip cos⁡x\cos x, cot⁡x\cot x ve csc⁡x\csc x değerlerini bulalım.
cos⁡x=−45,cot⁡x=43,csc⁡x=−53\cos x = -\frac{4}{5}, \quad \cot x = \frac{4}{3}, \quad \csc x = -\frac{5}{3}
Üçüncü bölgede sinüs, kosinüs ve kosekant fonksiyonları negatif, kotanjant fonksiyonu ise pozitif değerler alır.
4
Bulduğumuz değerleri soruda istenen cot⁡x−csc⁡x\cot x - \csc x ifadesinde yerine yazarak hesaplayalım.
cot⁡x−csc⁡x=43−(−53)=43+53=93=3\cot x - \csc x = \frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3
İstenen cebirsel ifadenin nihai sonucuna ulaşmak amaçlanmıştır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Analizi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic