Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası üçüncü bölgededir. OPOP doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı θ\theta olmak üzere, PP noktasından xx-eksenine inilen dikmenin ayağı AA, yy-eksenine inilen dikmenin ayağı BB noktasıdır. Buna göre, OAPBOAPB dikdörtgeninin çevresinin θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2(sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)
  2. B
    2(sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)
  3. C
    2(cos⁡θ−sin⁡θ)2(\cos\theta - \sin\theta)
  4. −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta)Answer
  5. E
    −2sin⁡θcos⁡θ-2\sin\theta\cos\theta

Answer

Dikdörtgenin çevresi −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta) birimdir.
Üçüncü bölgede bulunan PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)'dır. Bu bölgede kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının değerleri negatif olduğundan, OAPBOAPB dikdörtgeninin kenar uzunlukları ∣OA∣=−cos⁡θ|OA| = -\cos\theta ve ∣OB∣=−sin⁡θ|OB| = -\sin\theta olarak belirlenir. Çevre formülü olan 2(∣OA∣+∣OB∣)2(|OA| + |OB|) uygulandığında doğru çevre ifadesi −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta) olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
PP noktasının koordinatlarını belirleme.
PP noktasının koordinatları P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) olur.
Birim çember üzerindeki her noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
2
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını mutlak değerce ifade etme.
∣OA∣=−cos⁡θ|OA| = -\cos\theta ve ∣OB∣=−sin⁡θ|OB| = -\sin\theta birimdir.
θ\theta açısı üçüncü bölgede yer aldığı için bu bölgede hem sin⁡θ\sin\theta hem de cos⁡θ\cos\theta negatiftir. Uzunluk negatif olamayacağı için koordinatların önüne eksi işareti konularak pozitif değerler elde edilir.
3
Dikdörtgenin çevresini hesaplama.
Çevre =2(∣OA∣+∣OB∣)=2(−cos⁡θ−sin⁡θ)=−2(sin⁡θ+cos⁡θ)= 2(|OA| + |OB|) = 2(-\cos\theta - \sin\theta) = -2(\sin\theta + \cos\theta) birimdir.
Dikdörtgenin çevresi, komşu iki kenar uzunluğunun toplamının iki katına eşittir.

Key Concept

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik ifadeleri ve bölgelere göre işaret değişimi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic