Examkin

Question

Difficulty: HardParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+kx+12f(x) = -x^2 + kx + 12 parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar AA ve BB, yy-eksenini kestiği nokta ise CC'dir.

AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları arasında ∣OB∣=3∣OA∣|OB| = 3|OA| bağıntısı vardır.

DD noktası, bu parabol üzerinde bulunan, ordinatı CC noktasının ordinatına eşit ve apsisi sıfırdan farklı olan bir noktadır.

Buna göre, köşeleri AA, BB, DD ve CC noktaları olan ACDBACDB yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    48
  2. B
    60
  3. 72Answer
  4. D
    80
  5. E
    96

Answer

Yamuğun alanı 72 birimkaredir.
Yamuğun alt taban uzunluğu |AB| = 8 birim, üst taban uzunluğu |CD| = 4 birim ve yüksekliği h = 12 birimdir. Alan formülü uygulandığında ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkare bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
A(-2, 0) ve B(6, 0) noktaları elde edilir.
f(x) = -x^2 + kx + 12 parabolünün y-eksenini kestiği nokta C(0, 12) olup, x-eksenini kestiği noktaların çarpımı x_1 * x_2 = -12'dir. Kökler zıt işaretlidir. Uzaklık ilişkisi |OB| = 3|OA| olduğundan pozitif kök, negatif kökün mutlak değerinin 3 katıdır. Buradan x_1 = -2 ve x_2 = 6 bulunur.
2
Parabolün k katsayısını ve D noktasını bulma
k = 4 ve D(4, 12) elde edilir.
Kökler toplamı x_1 + x_2 = -2 + 6 = 4'tür. Denklemden kökler toplamı k olduğundan k = 4 bulunur. D noktasının ordinatı C(0,12) ile aynı ve apsisi sıfırdan farklıdır. -x^2 + 4x + 12 = 12 denklemi çözüldüğünde x = 0 veya x = 4 bulunur. Apsisi sıfırdan farklı olduğu için D(4, 12) noktası elde edilir.
3
ACDB yamuğunun alanını hesaplama
Yamuğun alanı 72 birimkare olarak bulunur.
Yamuğun alt tabanı x-ekseni üzerinde olup [AB] segmentinin uzunluğu 6 - (-2) = 8 birimdir. Üst tabanı y = 12 doğrusu üzerinde olup [CD] segmentinin uzunluğu 4 - 0 = 4 birimdir. Yamuğun yüksekliği, iki paralel doğru arasındaki mesafe olan 12 birimdir. Yamuk alanı formülünden Alan = ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkaredir.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve parabolün simetri özelliği kullanılarak koordinat düzleminde geometrik alan hesabı.
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic