Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Analitik düzlemde, AA ve BB hareketlileri sırasıyla yy ve xx eksenleri üzerinde hareket etmektedir.

AA hareketlisi t=0t = 0 anında (0,9)(0, 9) noktasından başlayarak yy-ekseninin negatif yönünde saniyede 1 birim hızla, BB hareketlisi ise t=0t = 0 anında (−3,0)(-3, 0) noktasından başlayarak xx-ekseninin pozitif yönünde saniyede 2 birim hızla hareket etmektedir.

Bu iki hareketli arasındaki mesafe, hareketin başladığı andan itibaren ilk 2 saniye boyunca izleniyor.

Buna göre, bu izleme süresi boyunca iki hareketli arasındaki mesafenin alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

  1. A
    353\sqrt{5}
  2. 525\sqrt{2}Answer
  3. C
    3103\sqrt{10}
  4. D
    65\sqrt{65}
  5. E
    2152\sqrt{15}

Answer

İki hareketli arasındaki mesafenin alabileceği en küçük değer 525\sqrt{2} birimdir.
Doğru olan 525\sqrt{2} birimlik mesafe, hareketlilerin zamanla değişen konumları arasındaki uzaklığın karesini veren d2(t)=5t2−30t+90d^2(t) = 5t^2 - 30t + 90 fonksiyonunun [0,2][0, 2] kapalı aralığında incelenmesiyle elde edilir. Parabolün tepe noktası t=3t=3 aralık dışında kaldığı ve fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında sürekli azaldığı için, minimum değer sınır değeri olan t=2t=2 anında gerçekleşir ve g(2)=50=52\sqrt{g(2)} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
tt saniye sonra hareketlilerin konumlarını belirleme.
tt. saniyede AA hareketlisinin konumu (0,9−t)(0, 9 - t), BB hareketlisinin konumu ise (−3+2t,0)(-3 + 2t, 0) olur.
AA hareketlisi (0,9)(0, 9) noktasından başlayarak saniyede 1 birim hızla aşağı yönde, BB hareketlisi ise (−3,0)(-3, 0) noktasından başlayarak saniyede 2 birim hızla sağa yönde gitmektedir.
2
İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyonu yazma.
d2(t)=(2t−3)2+(9−t)2=5t2−30t+90d^2(t) = (2t - 3)^2 + (9 - t)^2 = 5t^2 - 30t + 90 fonksiyonu elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü (d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) uygulanmıştır.
3
Elde edilen parabolün tepe noktasını bulma ve aralık kontrolü yapma.
Tepe noktasının apsisi r=−−302⋅5=3r = -\frac{-30}{2 \cdot 5} = 3 olarak bulunur. Ancak 33 değeri, tanımlanan [0,2][0, 2] aralığına ait değildir (3∉[0,2]3 \notin [0, 2]).
Parabolün en küçük değerini alabileceği yerel ekstremum noktasını saptamak için tepe noktası incelenir.
4
[0,2][0, 2] kapalı aralığındaki en küçük değeri belirleme.
Fonksiyonun başkatsayısı pozitif (a=5>0a = 5 > 0) olup tepe noktası r=3r = 3 aralığın sağında kaldığı için, fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalandır. Bu nedenle en küçük değer t=2t = 2 anında gerçekleşir: d2(2)=5(2)2−30(2)+90=50⇒d(2)=50=52d^2(2) = 5(2)^2 - 30(2) + 90 = 50 \Rightarrow d(2) = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} birimdir.
Tepe noktası aralık dışındayken kapalı bir aralıkta sürekli azalan bir fonksiyonun en küçük değeri sağ sınırda elde edilir.

Key Concept

Tanımlı bir kapalı aralıkta parabolün en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının apsisinin (r) aralıkta olup olmadığı incelenir. Eğer tepe noktası aralık dışındaysa, parabolün aralıktaki artanlık/azalanlık durumu veya uç noktalarindeki değerler değerlendirilir.
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic