Her x gerçel sayısı için tanımlı olan f(x) = \ln(x^2 - 2x + k) - \frac{1}{3}x fonksiyonu h… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Her

x

gerçel sayısı için tanımlı olan

f(x) = \ln(x^2 - 2x + k) - \frac{1}{3}x

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için azalandır.

Buna göre, $k$ gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Answer: 10

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 10'dur.

Fonksiyonun tanımlı ve azalan olması için

k > 1

k \ge 10

şartlarının birlikte sağlanması gerekir. Bu iki koşulu da sağlayan en küçük tam sayı değeri 10'dur.

Logaritma fonksiyonunun tanımlılık şartını belirleme

k > 1

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif olması gerekir.

x^2 - 2x + k > 0

ifadesinin her

x

için sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir.

Türev fonksiyonunu hesaplama ve azalanlık eşitsizliğini kurma

f'(x) = \frac{2x-2}{x^2-2x+k} - \frac{1}{3} \le 0

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta daima azalan olması, türevinin o aralıkta daima sıfırdan küçük veya eşit olmasını gerektirir.

Türev eşitsizliğini ikinci dereceden bir eşitsizliğe d��nüştürme

x^2 - 8x + k + 6 \ge 0

Paydanın daima pozitif olduğu birinci adımdan bilindiği için, içler dışlar çarpımı yapılarak eşitsizlik yön değiştirmeden düzenlenebilir.

İkinci dereceden eşitsizliğin daima sağlanma şartını uygulama ve ortak çözümü bulma

k \ge 10

x^2 - 8x + k + 6 \ge 0

eşitsizliğinin her

x

gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır (

\Delta_2 \le 0

). Buradan

k \ge 10

bulunur. Tanımlılık şartı olan

k > 1

ile kesişim alındığında en küçük tam sayı değeri 10 olur.

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi ile türev yardımıyla fonksiyonların artanlık/azalanlık incelemesi.

Question