Examkin

Question

Difficulty: Very hardAritmetik Dizi ve Özellikleri

Ortak farkı pozitif bir tam sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a5=14a_5 = 14

olduğu bilinmektedir. Bu dizinin kk ve mm terimleri için (k>mk > m),

ak2−am2=480a_k^2 - a_m^2 = 480

ve bu terimlerin indisleri arasında

k+m=16k + m = 16

ilişkisi bulunmaktadır.

Buna göre, rr dizinin ortak farkı olmak üzere, r⋅k⋅mr \cdot k \cdot m çarpımının değeri kaçtır?

Answer: 110

Answer

İstenen çarpımın değeri 110'dur.
İki kare farkı özdeşliğinden elde edilen (ak−am)(ak+am)=480(a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480 ifadesinde ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8=2(14+3r)a_k + a_m = 2a_8 = 2(14+3r) eşitlikleri yazılır. Elde edilen (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240 denkleminde k−mk-m farkının pozitif çift tam sayı olması gerektiği ve rr'nin pozitif tam sayı olduğu bilgisi kullanıldığında, bu koşulları sağlayan tek değer çiftinin k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 olduğu belirlenir. Buradan k=11k=11 ve m=5m=5 bulunarak, çarpım 110110 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
ak2−am2=(ak−am)(ak+am)=480a_k^2 - a_m^2 = (a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480
İfadeleri ortak fark ve terimler toplamı cinsinden analiz edebilmek için çarpanlara ayırmak gerekir.
2
Dizi terimlerinin farkını ve toplamını ortak fark ile indisler cinsinden yazın.
ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8a_k + a_m = 2a_8
Aritmetik dizide ardışık olmayan terimlerin farkı indis farkı ile ortak farkın çarpımına, terimlerin toplamı ise indislerinin aritmetik ortalamasının iki katına eşittir.
3
a8a_8 terimini bilinen a5a_5 terimi ve ortak fark cinsinden yazarak ana denklemi kurun.
a8=14+3ra_8 = 14 + 3r ve (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir denklem elde etmek için.
4
İndislerin tam sayı olma özelliklerini ve rr'nin pozitif tam sayı koşulunu kullanarak denklem sistemini çözün.
k−m=6k-m = 6 ve r=2r = 2
k+m=16k+m=16 çift olduğundan k−mk-m de çift olmalıdır. 240240 sayısının bölenleri arasında rr'yi pozitif tam sayı yapan tek durum k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 ikilisine aittir.
5
İndisleri bulun.
k=11k = 11 ve m=5m = 5
k+m=16k+m=16 ve k−m=6k-m=6 denklemlerinin ortak çözümünü yapmak için.
6
İstenen çarpım değerini hesaplayın.
2⋅11⋅5=1102 \cdot 11 \cdot 5 = 110
Soru kökünde talep edilen çarpıma ulaşmak için.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indislerin aritmetik ortalama özelliği, terimler farkı ve ortak fark ilişkisi ile iki kare farkı özdeşliği.
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic