Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x1+cos⁡xa = \frac{\sin x}{1 + \cos x}
b=sin⁡x1−cos⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x}
c=tan⁡xc = \tan x

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c<b<ac < b < aAnswer
  2. B
    c<a<bc < a < b
  3. C
    b<a<cb < a < c
  4. D
    a<b<ca < b < c
  5. E
    b<c<ab < c < a

Answer

c<b<ac < b < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralık ikinci bölgede olduğu için sinüs pozitif, kosinüs ve tanjant negatiftir. Bu nedenle tanjantı temsil eden değer negatif olup en küçüktür. Diğer iki ifade ise pozitif terimlerden oluşur. Kosinüs negatif olduğu için çıkartma işlemi paydayı büyütür, toplama işlemi ise küçültür. Paydası büyük olan kesrin değeri daha küçük olacağından, çıkarma işlemi içeren kesirli ifade toplama işlemi içeren kesirli ifadeden daha küçüktür. Bu da aranan doğru sıralamayı verir.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin işaretlerini belirleme
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığı birim çemberde ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede: sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve tan⁡x<0\tan x < 0'dır.
Sıralama yaparken pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
cc değerinin işaretini ve diğerleriyle ilişkisini inceleme
c=tan⁡x<0c = \tan x < 0'dır. Diğer taraftan a=sin⁡x1+cos⁡xa = \frac{\sin x}{1 + \cos x} ifadesinde pay (sin⁡x>0\sin x > 0) ve payda (cos⁡x>−1\cos x > -1 olduğundan 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0) pozitiftir. Benzer şekilde b=sin⁡x1−cos⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} ifadesinde de pay ve payda (cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>01 - \cos x > 0) pozitiftir. Buradan a>0a > 0 ve b>0b > 0 olduğu görülür. Dolayısıyla, negatif olan cc değeri en küçüktür: c<ac < a ve c<bc < b.
Hangi değişkenlerin pozitif hangi değişkenlerin negatif olduğunu saptayarak en küçük terimi belirlemek için.
3
aa ve bb pozitif değerlerini karşılaştırma
cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, −cos⁡x>cos⁡x-\cos x > \cos x yazılabilir. Her iki tarafa 11 eklersek 1−cos⁡x>1+cos⁡x1 - \cos x > 1 + \cos x elde edilir. Paydalar pozitif olduğundan, çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir: 11−cos⁡x<11+cos⁡x\frac{1}{1 - \cos x} < \frac{1}{1 + \cos x}. Her iki tarafı pozitif olan sin⁡x\sin x ile çarparsak: sin⁡x1−cos⁡x<sin⁡x1+cos⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} < \frac{\sin x}{1 + \cos x} yani b<ab < a bulunur.
Pozitif iki kesirli ifadenin paydalarını karşılaştırarak büyüklük ilişkisini kurmak için.
4
Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirme
c<0c < 0, b>0b > 0, a>0a > 0 ve b<ab < a olduğundan, nihai sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Tüm adımlardan gelen sonuçları tek bir sıralama altında bir araya getirmek için.

Key Concept

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla sıralama yapılması

Hints

1
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) açısının birim çemberde hangi bölgede olduğunu ve bu bölgede sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının işaretlerini belirleyin.
2
Belirlediğiniz işaretlere göre aa, bb ve cc sayılarının işaretlerini bulun. Negatif olan sayının en küçük olacağını unutmayın.
3
cos⁡x\cos x değeri negatif bir sayı olduğundan, 1+cos⁡x1 + \cos x ile 1−cos⁡x1 - \cos x ifadelerinden hangisinin daha büyük olduğunu karşılaştırın.

Practice More

Benzer bir sıralama sorusunu üçüncü bölge olan x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı için tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Açıya uygun bir değer vererek de sıralama yapılabilir. Örneğin, bu aralıkta bulunan x=150∘x = 150^\circ (5π6\frac{5\pi}{6} radyan) değerini seçelim. sin⁡(150∘)=0.5\sin(150^\circ) = 0.5, cos⁡(150∘)=−32≈−0.866\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ve tan⁡(150∘)=−13≈−0.577\tan(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577 olur. Bu değerler yerine yazıldığında; a=0.51−0.866=0.50.134≈3.73a = \frac{0.5}{1 - 0.866} = \frac{0.5}{0.134} \approx 3.73, b=0.51−(−0.866)=0.51.866≈0.27b = \frac{0.5}{1 - (-0.866)} = \frac{0.5}{1.866} \approx 0.27 ve c≈−0.58c \approx -0.58 elde edilir. Buradan c<b<ac < b < a sıralaması doğrudan görülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic