f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere tanımlı f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0, 4] … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere tanımlı $f(x) = 12 - x^2$ fonksiyonunun $[0, 4]$ aralığında $4$ eşit alt aralığa göre hesaplanan Riemann orta toplamı, bu aralıktaki $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ belirli integralinin değerinden daha büyüktür.

Answer: Answer

Answer

İfade doğrudur. Riemann orta toplamının değeri (

27

), belirli integralin değerinden (

\frac{80}{3} \approx 26{}67

) daha büyüktür.

Verilen

f(x) = 12 - x^2

fonksiyonunun

[0, 4]

aralığındaki Riemann orta toplamı

27

olarak hesaplanır. Bu aralıktaki belirli integral değeri ise

\frac{80}{3} \approx 26{}67

olduğundan, Riemann orta toplamı integral değerinden büyüktür. Bu durum geometrik olarak fonksiyonun konkav (aşağı doğru içbükey) olmasından kaynaklanır.

Step-by-Step Solution

Aralık genişliğini ve alt aralıkların orta noktalarını belirleme

Aralık genişliği

\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1

ve orta noktalar:

m_1 = 0{}5

m_2 = 1{}5

m_3 = 2{}5

m_4 = 3{}5

Riemann orta toplamını hesaplamak için alt aralıkların orta noktalarına ve ortak aralık genişliğine ihtiyaç duyulur.

Orta noktaların fonksiyon altındaki görüntülerini hesaplama

f(0{}5) = 11{}75

f(1{}5) = 9{}75

f(2{}5) = 5{}75

f(3{}5) = -0{}25

Riemann orta toplamı formülündeki yükseklik değerlerini bulmak için orta noktaların fonksiyon değerleri hesaplanır.

Riemann orta toplamını (

S_{orta}

) hesaplama

S_{orta} = [f(0{}5) + f(1{}5) + f(2{}5) + f(3{}5)] \cdot \Delta x = (11{}75 + 9{}75 + 5{}75 - 0{}25) \cdot 1 = 27

Her alt aralığın orta noktasındaki fonksiyon değeri ile aralık genişliği çarpılıp toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.

Belirli integrali hesaplama ve Riemann orta toplamı ile karşılaştırma

\int_{0}^{4} (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = 48 - \frac{64}{3} = \frac{80}{3} \approx 26{}67

27 > 26{}67

olduğu görülür.

İfadenin doğruluğunu teyit etmek için Riemann orta toplamı ile integral değeri karşılaştırılır.

Key Concept

Riemann Orta Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic