Bir fabrikada yeni işe başlayan bir işçinin günlük ürettiği ürün sayısı, işe başlamasından… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir fabrikada yeni işe başlayan bir işçinin günlük ürettiği ürün sayısı, işe başlamasından itibaren geçen $t$ (gün) süresine bağlı olarak

P(t) = L - (L - P_0)e^{-k \cdot t}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu modelde;
* $L$ , işçinin ulaşabileceği maksimum günlük ürün sayısını,
* $P_0$ , işçinin işe başladığı andaki (başlangıçtaki) günlük ürün sayısını,
* $k$ ise öğrenme katsayısı olan pozitif bir sabiti

temsil etmektedir. Bu fabrikada işe yeni başlayan bir işçinin maksimum kapasitesi günlük 80 ürün, başlangıçtaki günlük ürün sayısı ise 20 üründür.

İşe başladıktan 5 gün sonra günlük 50 ürün üretebilen bu işçinin, günlük 70 ürün üretebilecek duruma gelmesi için işe başlamasından itibaren toplam kaç gün geçmelidir?

A
$5 \log_2 3$
B
$5 + \log_2 3$
$5 \log_2 6$ Answer
D
$10 \log_2 3$
E
$5 \log_6 2$

Answer

İşçinin günlük 70 ürün üretebilmesi için işe başlamasından itibaren geçmesi gereken toplam süre

5 \log_2 6

gündür.

Model denklemleri adım adım uygulandığında, işçinin üretim kapasitesinin 70'e ulaşması için geçen sürenin üstel denklemi

2^{t/5} = 6

olarak bulunur. Bu denklemin çözümü logaritma tanımı gereği

t = 5 \log_2 6

gün değerini verir.

Step-by-Step Solution

Verilen başlangıç ve maksimum kapasite değerlerini modele yerleştirmek.

L = 80

P_0 = 20

değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında model

P(t) = 80 - (80 - 20)e^{-k \cdot t} = 80 - 60e^{-k \cdot t}

halini alır.

Problemin sayısal verilerini modele uygulayarak fonksiyonu sadeleştirmek.

İşe başladıktan 5 gün sonraki kapasite değerini kullanarak modelin taban sabitini bulmak.

P(5) = 50 \implies 80 - 60e^{-5k} = 50 \implies 60e^{-5k} = 30 \implies e^{-5k} = \frac{1}{2} \implies e^{-k} = 2^{-1/5}

elde edilir.

Zamana bağlı üstel değişimi sağlayan temel sabiti belirlemek.

İşçinin günlük 70 ürün üreteceği hedef süreyi veren denklemi kurmak.

P(t) = 70 \implies 80 - 60e^{-k \cdot t} = 70 \implies 60e^{-k \cdot t} = 10 \implies e^{-k \cdot t} = \frac{1}{6}

bulunur.

İstenen hedef durumu matematiksel eşitliğe dökmek.

İkinci adımda bulunan

e^{-k}

değerini yerine yazarak üstel denklemi logaritma yardımıyla çözmek.

(2^{-1/5})^t = 6^{-1} \implies 2^{-t/5} = 6^{-1} \implies 2^{t/5} = 6 \implies \frac{t}{5} = \log_2 6 \implies t = 5 \log_2 6

olarak hesaplanır.

Bilinmeyen süre değişkenini logaritma kurallarıyla yalnız bırakıp sonuca ulaşmak.

Key Concept

Üstel büyüme ve azalış modellerinde bilinmeyen süreyi logaritma kullanarak çözme

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics