Examkin

Question

Difficulty: EasyArtan ve Azalan Fonksiyonlar
f(x)=x3−6x2−15x+12f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 12

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkta bulunan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 14

Answer

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x−5)(x+1)f'(x) = 3(x-5)(x+1) olup, türevin negatif veya sıfır olduğu [−1,5][-1, 5] aralığı fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini hesaplayın.
f′(x)=3x2−12x−15f'(x) = 3x^2 - 12x - 15
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar, birinci türevinin işareti incelenerek bulunur.
2
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 eşitsizliğini çözmek için türev fonksiyonunun köklerini bulun.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=5x_2 = 5
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar türevin kökleridir.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturarak azalan olduğu en geniş aralığı belirleyin.
[−1,5][-1, 5] aralığı
[−1,5][-1, 5] aralığında f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.
4
Belirlenen aralıktaki xx tam sayılarını toplayın.
−1+0+1+2+3+4+5=14-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14
[−1,5][-1, 5] aralığındaki tam sayılar sırasıyla −1,0,1,2,3,4,5-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir.

Key Concept

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, fonksiyonun birinci türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıktır.
Rate this question

Topics

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

More questions from this topic