Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Uzunluğu 34 cm34\text{ cm} olan bir tel iki parçaya bölünüyor. Bu parçalardan biriyle bir kare, diğeriyle ise uzun kenarı kısa kenarının 22 katı olan bir dikdörtgen oluşturuluyor. Buna göre, oluşturulan bu iki şeklin alanları toplamının en küçük değeri kaç cm2\text{cm}^2 olur?

  1. A
    38
  2. B
    51
  3. 34Answer
  4. D
    64
  5. E
    72

Answer

Oluşturulan iki şeklin alanları toplamının en küçük değeri 34 cm² dir.
Toplam alanı veren ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=16r = 16 olup, bu değer fonksiyona yazıldığında elde edilen 3434 değeri bu iki şeklin alanları toplamının alabileceği en küçük değerdir.

Step-by-Step Solution

1
Telin bölündüğü parçaları değişken cinsinden ifade etme
Kare için kullanılan tel parçası x cmx\text{ cm} ise dikdörtgen için kalan parça 34−x cm34 - x\text{ cm} olur.
Toplam tel uzunluğu 34 cm34\text{ cm} olduğundan parçaların toplamı bu değeri vermelidir.
2
Karenin alanını yazma
Karenin bir kenar uzunluğu x4 cm\frac{x}{4}\text{ cm} ve alanı S1=x216 cm2S_1 = \frac{x^2}{16}\text{ cm}^2 olur.
Karenin çevresi x cmx\text{ cm} olduğundan bir kenarı çevrenin dörtte biridir ve alanı kenarın karesidir.
3
Dikdörtgenin alanını yazma
Dikdörtgenin kısa kenarı ww ise uzun kenarı 2w2w'dir. Çevresi 6w=34−x  ⟹  w=34−x6 cm6w = 34 - x \implies w = \frac{34 - x}{6}\text{ cm} olur. Dikdörtgenin alanı S2=2w2=(34−x)218 cm2S_2 = 2w^2 = \frac{(34 - x)^2}{18}\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Çevre formülü 2(w+2w)=6w2(w + 2w) = 6w olup buradan kenar uzunluğu ve alan bağıntısı elde edilir.
4
Toplam alan fonksiyonunu oluşturma
A(x)=S1+S2=x216+(34−x)218=17144x2−349x+5789A(x) = S_1 + S_2 = \frac{x^2}{16} + \frac{(34 - x)^2}{18} = \frac{17}{144}x^2 - \frac{34}{9}x + \frac{578}{9} fonksiyonu elde edilir.
Toplam alanı tek bir değişkene bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon (parabol) olarak ifade etmek gerekir.
5
Parabolün tepe noktasını (minimum noktayı) bulma
r=−b2a=−−3492⋅17144=16r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{34}{9}}{2 \cdot \frac{17}{144}} = 16 bulunur.
Kolları yukarı doğru olan bu parabolün en küçük değeri tepe noktasının apsisinde oluşur.
6
Minimum alanı hesaplama
A(16)=16216+(34−16)218=16+18=34 cm2A(16) = \frac{16^2}{16} + \frac{(34 - 16)^2}{18} = 16 + 18 = 34\text{ cm}^2 elde edilir.
Bulunan minimum yapan x=16x = 16 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak en küçük alan toplamı bulunur.

Key Concept

Parabolün en büyük veya en küçük değer uygulamalarında, ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasının apsisi olan r = -b/(2a) değeri ve bu değere karşılık gelen k = f(r) ordinat değeri kullanılır.

Alternative Method

Kare ve dikdörtgenin kenar uzunlukları sırasıyla y ve z değişkenleri olarak tanımlanıp 2y + 3z = 17 kısıtı altında y² + 2z² toplam alanı minimize edilebilir. Buradan y = (17 - 3z)/2 yazılıp alanda yerine koyularak tek değişkenli bir parabol elde edilir ve tepe noktası z = 3 olarak bulunup aynı sonuca ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic