Examkin

Question

Difficulty: Very hardLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı xx, yy ve zz pozitif gerçel sayıları için
log⁡x(y2z)=3\log_x(y^2 z) = 3
log⁡y(xz2)=4\log_y(x z^2) = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    43\frac{4}{3}
  3. 3Answer
  4. D
    112\frac{11}{2}
  5. E
    6

Answer

Logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve doğrusal sistemin çözülmesiyle elde edilen değer 3'tür.
Verilen eşitlikler taban değiştirme kuralı ile çözüldüğünde değişkenlerin logaritmaları arasında a=87ba = \frac{8}{7}b ve c=107bc = \frac{10}{7}b ilişkisi bulunur. İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinde bu oranlar yerine yazıldığında sonuç 3 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen logaritmik ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla yazalım.
log⁡x(y2z)=2log⁡y+log⁡zlog⁡x=3\log_x(y^2 z) = \frac{2\log y + \log z}{\log x} = 3
log⁡y(xz2)=log⁡x+2log⁡zlog⁡y=4\log_y(x z^2) = \frac{\log x + 2\log z}{\log y} = 4
Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve çarpım özellikleri kullanılarak ifadeler ortak bir tabana aktarılır.
2
Kolaylık sağlaması amacıyla log⁡x=a\log x = a, log⁡y=b\log y = b ve log⁡z=c\log z = c değişken değiştirmelerini yapalım ve denklemleri düzenleyelim.
2b+c=3a  ⟹  3a−2b−c=02b + c = 3a \implies 3a - 2b - c = 0
a+2c=4b  ⟹  a−4b+2c=0a + 2c = 4b \implies a - 4b + 2c = 0
Logaritmik ifadeleri doğrusal denklem sistemine dönüştürerek çözümü kolaylaştırmak.
3
Birinci denklemden cc değişkenini aa ve bb cinsinden çekip ikinci denklemde yerine yazalım.
c=3a−2bc = 3a - 2b
a+2(3a−2b)=4b  ⟹  7a=8b  ⟹  a=87ba + 2(3a - 2b) = 4b \implies 7a = 8b \implies a = \frac{8}{7}b
Değişkenleri birbirleri cinsinden ifade ederek tek bir değişkene indirgemek.
4
Bulduğumuz a=87ba = \frac{8}{7}b değerini c=3a−2bc = 3a - 2b eşitliğinde yerine yazarak cc değerini de bb cinsinden bulalım.
c=3(87b)−2b=107bc = 3\left(\frac{8}{7}b\right) - 2b = \frac{10}{7}b
Tüm değişkenleri tek bir parametreye (bb) bağlı hale getirmek.
5
İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesini taban değiştirme kuralı ile a,b,ca, b, c cinsinden yazıp bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
log⁡z(x2y2)=2log⁡x+2log⁡ylog⁡z=2a+2bc\log_z(x^2 y^2) = \frac{2\log x + 2\log y}{\log z} = \frac{2a + 2b}{c}
2(87b)+2b107b=307b107b=3\frac{2\left(\frac{8}{7}b\right) + 2b}{\frac{10}{7}b} = \frac{\frac{30}{7}b}{\frac{10}{7}b} = 3
İstenen ifadeyi ortak tabandaki değişkenler cinsinden hesaplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternative Method

Verilen eşitlikler üstel fonksiyona dönüştürülerek de çözülebilir: log⁡x(y2z)=3  ⟹  y2z=x3\log_x(y^2 z) = 3 \implies y^2 z = x^3 ve log⁡y(xz2)=4  ⟹  xz2=y4\log_y(x z^2) = 4 \implies x z^2 = y^4 olur. İlk eşitlikten z=x3y2z = \frac{x^3}{y^2} çekilip ikinci eşitlikte yerine yazılırsa x⋅(x3y2)2=y4  ⟹  x7=y8  ⟹  x=y8/7x \cdot \left(\frac{x^3}{y^2}\right)^2 = y^4 \implies x^7 = y^8 \implies x = y^{8/7} elde edilir. Buradan z=y10/7z = y^{10/7} bulunur. İstenen ifade log⁡z(x2y2)=log⁡y10/7(y16/7⋅y2)=log⁡y10/7(y30/7)=30/710/7=3\log_z(x^2 y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{16/7} \cdot y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{30/7}) = \frac{30/7}{10/7} = 3 şeklinde hesaplanır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic