Examkin

Question

Difficulty: HardGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8−S6=4⋅(S4−S2)S_8 - S_6 = 4 \cdot (S_4 - S_2)

ve bu dizinin ilk iki teriminin toplamı 33 olduğuna göre, ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeri kaçtır?

  1. A
    21(2−1)21(\sqrt{2}-1)
  2. B
    21(2+1)21(\sqrt{2}+1)
  3. 2121Answer
  4. D
    6363
  5. E
    189189

Answer

İlk 6 terim toplamı olan 21
Dizinin terimlerinin toplamı formülü kullanılarak S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 eşitlikleri yazılır. Buradan ortak çarpan r=2r = \sqrt{2} olarak bulunur. a1+a2=a1(1+r)=3a_1 + a_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinden a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) elde edilir. Son olarak S6=a1r6−1r−1S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} formülünde değerler yerine yazıldığında toplam 21 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
S8−S6S_8 - S_6 ve S4−S2S_4 - S_2 farklarını dizinin terimleri cinsinden yazınız.
S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 ifadeleri elde edilir.
İlk nn terim toplamının tanımı gereği, ardışık toplamlar arasındaki fark o aralıktaki terimlerin toplamını verir.
2
Elde edilen terimleri ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulunuz.
a1r6(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^6(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğinden r4=4r^4 = 4 ve pozitif terimli olduğu için r=2r = \sqrt{2} elde edilir.
Dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan a1(1+r)≠0a_1(1+r) \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
3
a1+a2=3a_1 + a_2 = 3 bilgisini kullanarak a1a_1 değerini bulunuz.
a1(1+2)=3  ⟹  a1=3(2−1)a_1(1+\sqrt{2}) = 3 \implies a_1 = 3(\sqrt{2}-1) bulunur.
İlk terimi bulmak, ilk 6 terim toplamını hesaplamak için gereklidir.
4
Geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamını (S6S_6) hesaplayınız.
S6=a1r6−1r−1=3(2−1)(2)6−12−1=3⋅(8−1)=21S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} = 3(\sqrt{2}-1) \frac{(\sqrt{2})^6 - 1}{\sqrt{2}-1} = 3 \cdot (8 - 1) = 21 bulunur.
r=2r = \sqrt{2} ve a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) değerleri geometrik dizi ilk nn terim toplam formülünde yerine koyulur.

Key Concept

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülü ve terimler arası geçişlerin uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic