Tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir (a_n)… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve ortak çarpanı

1

'den büyük olan bir

(a_n)

geometrik dizisinde,

a_3 \cdot a_9 = 1024

a_5 + a_7 = 80

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin dördüncü terimi ( $a_4$ ) kaçtır?

Geometrik dizilerde

a_3 \cdot a_9 = a_6^2

özelliği kullanılarak

a_6 = 32

elde edilir. Daha sonra

a_5 + a_7 = 80

denklemi

\frac{a_6}{r} + a_6 \cdot r = 80

şeklinde yazılarak

r = 2

(veya

r = 1/2

) bulunur. Ortak çarpan 1'den büyük dendiği için

r = 2

seçilir ve dördüncü terim

a_4 = a_6 / r^2 = 32 / 4 = 8

olarak hesaplanır.

Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kurma

a_3 \cdot a_9 = a_6^2 = 1024 \implies a_6 = 32

Geometrik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (

a_{n-k} \cdot a_{n+k} = a_n^2

). Terimler pozitif olduğu için pozitif kök alınır.

Diğer terimleri altıncı terim ve ortak çarpan cinsinden yazma

a_5 = \frac{32}{r}

a_7 = 32r

Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimler arasındaki oran ortak çarpana (

r

) eşittir.

Verilen toplam eşitliğini kullanarak ortak çarpanı bulma

\frac{32}{r} + 32r = 80 \implies 2r^2 - 5r + 2 = 0 \implies r = 2

veya

r = \frac{1}{2}

Toplam eşitliği düzenlendiğinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir ve bu denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.

Ortak çarpanı seçme ve dördüncü terimi hesaplama

r = 2

seçilir.

a_4 = \frac{a_6}{r^2} = \frac{32}{4} = 8

Soruda ortak çarpanın 1'den büyük olduğu belirtildiğinden

r = 2

alınır. Altıncı terimden iki adım geriye gidilerek dördüncü terim hesaplanır.

Geometrik dizilerde terimler arası bağıntılar ve ortak çarpanın belirlenmesi

Estimated Time:2m 0s

Question