Examkin

Question

Difficulty: MediumArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=x2−5x+4f'(x) = x^2 - 5x + 4
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [1,2][1, 2]
  2. B
    [−1,1][-1, 1]
  3. [0,1][0, 1]Answer
  4. D
    [−2,0][-2, 0]
  5. E
    [−1,0][-1, 0]

Answer

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıklardan biri [0, 1] aralığıdır.
Doğru seçenekte sunulan [0, 1] aralığı, g′(x)=2x(x2−4)(x2−1)≥0g'(x) = 2x(x^2-4)(x^2-1) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan artanlık aralıklarından biridir. Yapılan türev analizi ve işaret tablosu sonucunda bu aralıkta türevin pozitif veya sıfır olduğu doğrulanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.
g′(x)=2x⋅f′(x2)g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)
g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunun türevi zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevinin çarpımına eşittir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine x2x^2 yazarak f′(x2)f'(x^2) ifadesini bulunuz ve çarpanlarına ayırınız.
f′(x2)=(x2)2−5(x2)+4=(x2−4)(x2−1)=(x−2)(x+2)(x−1)(x+1)f'(x^2) = (x^2)^2 - 5(x^2) + 4 = (x^2-4)(x^2-1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)
g′(x)g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp kökleri bulmak için.
3
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturunuz.
Kökler küçükten büyüğe: −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 olup işaret tablosunda en sağ aralık (x>2x > 2) pozitif (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir.
Türevin işaretini belirleyerek fonksiyonun artan (g′(x)≥0g'(x) \ge 0) ve azalan (g′(x)≤0g'(x) \le 0) olduğu aralıkları tespit etmek için.
4
g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan aralıkları belirleyiniz.
Fonksiyonun artan olduğu aralıklar [−2,−1]∪[0,1]∪[2,∞)[-2, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty) olarak bulunur.
Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar fonksiyonun artan olduğu aralıklardır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artanlık ve azalanlık aralıklarının belirlenmesi.
Rate this question

Topics

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

More questions from this topic