Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC olarak adlandırılıyor. AA noktası xx-ekseninin negatif kısmında, BB noktası ise xx-ekseninin pozitif kısmında yer almaktadır. AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla 22 birim ve 66 birimdir. Parabolün yy-eksenini kestiği CC noktasının koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre, parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Answer: -16

Answer

Parabolün tepe noktasının ordinatı -16'dır.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar A(-2, 0) ve B(6, 0), y-eksenini kestiği nokta C(0, -12) olarak belirlendikten sonra denklem f(x) = (x+2)(x-6) olarak elde edilir. Bu denklemin tepe noktasının apsisi r = 2 olup, fonksiyonda yerine yazıldığında ordinat değeri k = -16 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A ve B noktalarının koordinatlarını belirleme
A(−2,0)A(-2, 0) ve B(6,0)B(6, 0)
AA noktası negatif, BB noktası pozitif xx-ekseninde yer almakta ve orijine uzaklıkları sırasıyla 22 ve 66 birim olarak verilmiştir.
2
C noktasının koordinatlarını belirleme
C(0,−12)C(0, -12)
CC noktası yy-ekseni üzerinde olduğundan apsisi sıfırdır. Koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre ordinatı −12-12 olmalıdır.
3
Parabolün genel denklemini yazma ve başkatsayıyı bulma
f(x)=x2−4x−12f(x) = x^2 - 4x - 12
Eksenleri kestiği noktalar bilinen parabolün genel denklemi f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) şeklindedir. x1=−2x_1 = -2 ve x2=6x_2 = 6 değerleri için f(x)=a(x+2)(x−6)f(x) = a(x+2)(x-6) elde edilir. C(0,−12)C(0, -12) noktasından geçtiği için f(0)=a(2)(−6)=−12⇒a=1f(0) = a(2)(-6) = -12 ⇒ a = 1 olur.
4
Tepe noktasının koordinatlarını hesaplama
Tepe noktasının ordinatı k=−16k = -16
Parabolün tepe noktasının apsisi köklerin ortalama değeridir: r=−2+62=2r = \frac{-2 + 6}{2} = 2. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)−12=−16k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) - 12 = -16 olarak bulunur.

Key Concept

Bir parabolün eksenleri kestiği noktalardan yararlanılarak denkleminin yazılması ve tepe noktasının bulunması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic