Examkin

Question

Difficulty: HardGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S5−S3=12⋅a2S_5 - S_3 = 12 \cdot a_2
S4=45S_4 = 45

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

  1. A
    32\frac{3}{2}
  2. 33Answer
  3. C
    98\frac{9}{8}
  4. D
    457\frac{45}{7}
  5. E
    458\frac{45}{8}

Answer

İlk terim 33 olarak bulunur.
İlk 5 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5a_4 + a_5 kalır. Bu terimler ve a2a_2 ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazıldığında r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denklemi elde edilir. Pozitif terimli dizi koşulundan r=2r = 2 bulunur. S4=a124−12−1=15a1=45S_4 = a_1 \frac{2^4-1}{2-1} = 15 a_1 = 45 eşitliğinden dizinin ilk terimi 33 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
S5−S3S_5 - S_3 farkını dizinin terimleri cinsinden ifade etmek.
S5−S3=a4+a5S_5 - S_3 = a_4 + a_5 elde edilir.
SnS_n ilk nn terimin toplamı olduğundan, ilk 5 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4. ve 5. terimler kalır.
2
a4a_4, a5a_5 ve a2a_2 terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazıp denklemde yerine koymak.
a1⋅r3+a1⋅r4=12⋅a1⋅r⇒a1⋅r3(1+r)=12⋅a1⋅ra_1 \cdot r^3 + a_1 \cdot r^4 = 12 \cdot a_1 \cdot r \Rightarrow a_1 \cdot r^3 (1 + r) = 12 \cdot a_1 \cdot r elde edilir.
Geometrik dizide her terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklinde ifade edilir.
3
Elde edilen denklemden ortak çarpanı (rr) çözmek.
r2(1+r)=12⇒r=2r^2 (1 + r) = 12 \Rightarrow r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılar olduğundan a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olmalıdır. r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denkleminin tek pozitif gerçel kökü r=2r = 2 sayısıdır.
4
S4=45S_4 = 45 bilgisini ve r=2r = 2 değerini kullanarak geometrik dizinin ilk terimini (a1a_1) bulmak.
S4=a1⋅r4−1r−1⇒45=a1⋅24−12−1⇒45=15⋅a1⇒a1=3S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \Rightarrow 45 = a_1 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \Rightarrow 45 = 15 \cdot a_1 \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve ardışık terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic